Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода симпсона

Главная /
Введение в математическое моделирование /
Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

вопрос

Правильный ответ:

1

2

3

4

Сложность вопроса

84

Сложность курса: Введение в математическое моделирование

75

Оценить вопрос

Очень сложно

Сложно

Средне

Легко

Очень легко

Спасибо за оценку!

Комментарии:

Аноним

Я завалил сессию, почему я не увидел данный сайт с ответами интуит до этого

14 окт 2015

Оставить комментарий

Другие ответы на вопросы из темы алгоритмы и дискретные структуры интуит.

  • #

    Какой из методов обладает большей точностью при решении системы линейных уравнений в общем случае?

  • #

    Разделенные разности используются интерполяционным многочленом в формах

  • #

    В чем состоит суть компьютерного моделирования?

  • #

    Что требуется для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса при статистическом моделировании?

  • #

    К каким случайным величинам применим способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически?

Главная / Алгоритмы и дискретные структуры /
Введение в математическое моделирование / Тест 12

Упражнение 1:


Номер 1

Какие системы называют динамическими?

Ответ:

(1) системы, в которых выходные переменные являются функциями от времени или каких–либо других параметров 

(2) системы, в которых входные переменные являются функциями от времени или каких–либо других параметров 

(3) системы, в которых входные переменные являются константными значениями 

(4) системы, в которых выходные переменные являются константными значениями 


Номер 2

Какими уравнениями описываются динамические системы?

Ответ:

(1) дифференциальными 

(2) интегральными 

(3) в виде многочлена степени n 

(4) нет правильного ответа 


Номер 3

Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 

(4) math 


Упражнение 2:


Номер 1

В каких случаях применяются численные методы интегрирования?

Ответ:

(1) подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a,b] 

(2) подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная выражается через элементарные функции 

(3) подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно 


Номер 2

К каким методам относятся численные методы по характеру результата?

Ответ:

(1) точным 

(2) приближенным 

(3) нет правильного ответа 


Номер 3

Какой шаг при вычислении интеграла численными методами необходимо выполнить вторым?

Ответ:

(1) в каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируют интерполяционным многочленом. Степень многочлена n = 0,1,2… 

(2) весь участок [a,b] делят на n равных частей с шагом h=(b-a)/n 

(3) для каждой части деления определяют площадь частичной криволинейной трапеции 

(4) суммируют площади частичных криволинейных трапеций 


Упражнение 3:


Номер 1

Как называется нахождение приближенного значения интеграла?

Ответ:

(1) сплайн 

(2) кубический сплайн 

(3) квадратура 


Номер 2

По какой формуле вычисляется остаточный член?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 


Номер 3

Что называется остаточным членом?

Ответ:

(1) разность между точным и приближенным значением интеграла 

(2) разность между приближенным и точным значением интеграла 

(3) сумма приближенного и точного значений интеграла 

(4) погрешностью квадратурной формулы 


Упражнение 4:


Номер 1

В каком случае квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а  метод – методом прямоугольников?

Ответ:

(1) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX 

(2) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки 

(3) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени 


Номер 2

В каком случае квадратурная формула называется формулой трапеций, а метод – методом трапеций?

Ответ:

(1) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX 

(2) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки 

(3) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени 


Номер 3

В каком случае квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона?

Ответ:

(1) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки 

(2) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени 

(3) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX 


Упражнение 5:


Номер 1

Какой вид имеет квадратурная формула, если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в левых концах каждого шага?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) нет правильного ответа 


Номер 2

Какой порядок имеет точность метода трапеций?

Ответ:

(1) h 

(2) h2 

(3) h3 

(4) h4 


Номер 3

Чем аппроксимируется подынтегральная функция в каждой части деления в методе Симпсона?

Ответ:

(1) квадратичной параболой 

(2) кубическим сплайном 

(3) многочленом степени n 

(4) нет правильного ответа 


Упражнение 6:


Номер 1

Что отражает параметр N2 в формуле по методу Симпсона math?

Ответ:

(1) заданную точность 

(2) число шагов 

(3) количество частей деления 

(4) нет правильного ответа 


Номер 2

Формула Ньютона-Лейбница используется

Ответ:

(1) для решения систем нелинейных уравнений 

(2) для численного интегрирования 

(3) для численного дифференцирования 

(4) для решения систем линейных уравнений 


Номер 3

В каком случае невозможно применить численный метод интегрирования?

Ответ:

(1) подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно 

(2) подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a,b] 

(3) подынтегральная функция f(x) задана на участке [a,b] таблично, но интеграл ищется на другом участке 

(4) подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не выражается через элементарные функции 


Упражнение 7:


Номер 1

Численные методы интегрирования являются

Ответ:

(1) точными 

(2) приближенными 

(3) эвристическими 

(4) аналитическими 


Номер 2

Квадратурой называется

Ответ:

(1) приближенное значение интеграла 

(2) усредненный квадрат интеграла 

(3) квадрат интеграла 

(4) среднее значение между интегралом и функцией в данной точке 


Номер 3

Какую необходимо брать высоту прямоугольника в методе прямоугольников на интервале [a,b] в общем случае? 

Ответ:

(1) значение функции в точке a 

(2) значение функции в точке b 

(3) значение функции в точке (b-a)/2 

(4) значение функции либо в точке a, либо в точке b 

(5) все варианты равнозначны 


Упражнение 8:


Номер 1

Какое количество шагов надо выполнить, чтобы проинтегрировать методом прямоугольников функцию на отрезке [a,b] с шагом h?

Ответ:

(1) (a+b)/h 

(2) (b-a)/h 

(3) h 

(4) b-a 


Номер 2

Какая максимальная степень степенного подынтегральной многочлена должна быть, чтобы гарантировать безошибочное вычисление интеграла методом трапеций?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4) любая 

(5) ошибка аппроксимации будет всегда 


Номер 3

Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)


Упражнение 9:


Номер 1

Какой из параметров не влияет на ошибку методов Симпсона, трапеций и прямоугольников?

Ответ:

(1) производная подынтегральной функции на данном интервале 

(2) максимальное значение подынтегральной функции 

(3) размер выбранного шага 


Номер 2

Какой из методов имеет большее количество шагов?

Ответ:

(1) прямоугольников 

(2) трапеций 

(3) Симпсона 

(4) трапеций и Симпсона 

(5) все имеют одинаковое 


Номер 3

Как выглядит общий вид дифференциального уравнения?

Ответ:

(1) F(x,y,y') = 0 

(2) F(x,y,y') = 1 

(3) F(x,y,y') = -1 

(4) F(x,y,y') = N 


Упражнение 10:


Номер 1

Как выглядит нормальная форма дифференциального уравнения?

Ответ:

(1) y = f'(x,y) 

(2) y' = f(x,y) 

(3) y' = f'(x,y) 

(4) нет правильного ответа 


Номер 2

Чему равна правая часть (f(x,y)) дифференциального уравнения, представленного в нормальной форме?

Ответ:

(1) функции y(x) 

(2) первой производной функции y(x) 

(3) первообразной функции y(x) 

(4) второй производной функции y(x) 


Номер 3

Как называется дифференциальное уравнения, если функция у зависит от нескольких аргументов?

Ответ:

(1) частное дифференциальное уравнение 

(2) нормальная форма дифференциального уравнения 

(3) дифференциальное уравнение в частных производных 


Упражнение 11:


Номер 1

Что является общим решением обыкновенного дифференциального уравнения y' = f(x,y)?

Ответ:

(1) семейство функций у=у(х,с) 

(2) функция у=у(х) 

(3) функция у=с 

(4) нет правильного ответа 


Номер 2

Что называется задачей Коши?

Ответ:

(1) нахождение частного решения дифференциального уравнения y' = f(x,y) 

(2) нахождение частного решения дифференциального уравнения y' = f(x,y), удовлетворяющего начальному условию math 

(3) нахождение частного решения дифференциального уравнения y = f(x,y) 

(4) нахождение частного решения дифференциального уравнения y = f(x,y), удовлетворяющего начальному условию math 


Номер 3

Что такое h в постановке задачи Коши в численных методах?

Ответ:

(1) начало участка интегрирования уравнения 

(2) конец участка интегрирования уравнения 

(3) число шагов интегрирования уравнения 

(4) шаг интегрирования дифференциального уравнения 


Упражнение 12:


Номер 1

На чем основаны методы Рунге–Кутта?

Ответ:

(1) на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в окрестности шага h каждой i-ой точки в ряд Тейлора: math 

(2) на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в окрестности шага h каждой i-ой точки в ряд Тейлора: math 

(3) на аппроксимации искомой функции у(х) в пределах каждого шага многочленом, который получен при помощи разложения функции у(х) в ряд Тейлора: math 


Номер 2

Как еще называется метод Эйлера?

Ответ:

(1) метод Рунге–Кутта первого порядка 

(2) метод Рунге–Кутта второго порядка 

(3) метод Рунге–Кутта четвертого порядка 


Номер 3

Как выглядит формула Эйлера?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 

(4) нет правильного ответа 


Упражнение 13:


Номер 1

Чему равна точность метода Эйлера на каждом шаге?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 

(4) math 


Номер 2

Чему равен в графическом представлении метода Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага?

Ответ:

(1) значению производной y'(x) в начальной точке шага xi 

(2) шагу интегрирования дифференциального уравнения 

(3) точности метода Эйлера 

(4) количеству шагов интегрирования дифференциального уравнения 


Номер 3

Как выглядит модифицированная или уточненная формула Эйлера?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 

(4) math 


Упражнение 14:


Номер 1

В какое количество этапов группируются все вычисления на каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера для определения предварительного значения  ?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)


Номер 2

Чему равна точность модифицированного метода Эйлера на каждом шаге?

Ответ:

(1) math 

(2) math 

(3) math 

(4) math 


Номер 3

Каким количеством прямых аппроксимируется функция у(х) на каждом шаге в модифицированном методе Эйлера?

Ответ:

(1)

(2)

(3)

(4)


Упражнение 15:


Номер 1

Какой из всех численных методов решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ получил самое большое распространение?

Ответ:

(1) метод Рунге-Кутта 1-го порядка 

(2) метод Эйлера 

(3) модифицированный метод Эйлера 

(4) метод Рунге-Кутта 4-го порядка 


Номер 2

Чему равна ошибка на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

Ответ:

(1) h2 

(2) h3 

(3) h4 

(4) h5 


Номер 3

Чем аппроксимируется искомая функция y(x) на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

Ответ:

(1) рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h2 

(2) рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h3 

(3) рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h4 


Упражнение 16:


Номер 1

Производные функции y(x) каких порядков необходимо определить для сохранения членов ряда, содержащих h2 , h3,h4?

Ответ:

(1) y'',y''',y(4) 

(2) y', y'',y''' 

(3) y'',y''' 

(4) y', y'' 


Номер 2

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка представляется как

Ответ:

(1) аналитическая функция 

(2) табличная функция 

(3) графическая функция 


Номер 3

Метод Эйлера это:

Ответ:

(1) метод Рунге-Кутта 2-го порядка 

(2) метод Рунге-Кутта 1-го порядка 

(3) метод Рунге-Кутта 4-го порядка 


Упражнение 17:


Номер 1

Модифицированный метод Эйлера это:

Ответ:

(1) метод Рунге-Кутта 2-го порядка 

(2) метод Рунге-Кутта 1-го порядка 

(3) метод Рунге-Кутта 4-го порядка 


Номер 2

Методы Рунге-Кутта получены при помощи разложения функции в ряд

Ответ:

(1) Маклорена 

(2) Тейлора 

(3) Эйлера 


Номер 3

Точность h метода эйлера имеет порядок

Ответ:

(1)

(2)

(3)


Упражнение 18:


Номер 1

Точность h метода Рунге-Кутта 4-го порядка

Ответ:

(1)

(2)

(3)


Номер 2

Точность h модифицированного метода Эйлера

Ответ:

(1)

(2)

(3)


Номер 3

Какой метод считается более точным

Ответ:

(1) Эйлера 

(2) Рунге-Кутта 4-го порядка 

(3) модифицированный метод Эйлера 


Упражнение 19:


Номер 1

Как добиться того чтобы результаты по методу Эйлера, модифицированному методу Эйлера и методу Рунге-Кутта 4-го порядка были почти одинаковыми

Ответ:

(1) увеличивая шаг интегрирования 

(2) уменьшая шаг интегрирования 

(3) удваивая шаг интегрирования 


Номер 2

Для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка необходимо

Ответ:

(1) начальное значение x, начальное значение y, шаг интегрирования h, конец интервала b 

(2) начальное значение x, конечное значение y, шаг интегрирования h 

(3) начальное значение x, начальное значение y, конец интервала b 


Номер 3

К какой системе можно свести любое дифференциальное уравнение m–го порядка при помощи замен?

Ответ:

(1) к системе, состоящей из m-1 уравнения первого порядка 

(2) к системе, состоящей из m уравнений первого порядка 

(3) к системе, состоящей из m+1 уравнения первого порядка 


Упражнение 20:


Номер 1

Что является решением дифференциального уравнения m-го порядка?

Ответ:

(1) решение системы, состоящей из m дифференциальных уравнений первого порядка 

(2) решение системы, состоящей из m-1 дифференциального уравнения первого порядка 

(3) m табличных функций y, y1=y', y2=y''1, … , ym=y(m-1) 

(4) m-1 табличная функция y, y1=y', y2=y''1, … , ym-1=y(m-2) 


Номер 2

Как выглядят дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде?

Ответ:

(1) f(x) = 0 

(2) F(x,y)= 0 

(3) F(x,y,y')= 0 

(4) F(x,y,y',y'')= 0 


Номер 3

Как выглядит нормальная форма дифференциальных уравнений второго порядка?

Ответ:

(1) y'=f(x,y) 

(2) y”=f(x,y') 

(3) y”=f(x,y,y') 

(4) y”'=f(x,y,y'') 


Упражнение 21:


Номер 1

Как звучит постановка в численных методах задача Коши для системы y(x) с учетом двух начальных условия: y(x0)=y0, y1(x0)=(y1)0?

Ответ:

(1) найти табличные функции y(x) и (y1)(x), math 

(2) найти табличные функции y(x) и (y1)(x), math 

(3) нет правильного ответа 


Номер 2

Что является решением задачи Коши для системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка, на графике?

Ответ:

(1) узловая точка 

(2) совокупность узловых точек 

(3) не существует решения задачи Коши на графике 


Номер 3

Какое условие необходимо соблюдать на каждом шаге интегрирования при применении для решения системы дифференциальных уравнений тех же методов, что и для решения одного дифференциального уравнения первого порядка?

Ответ:

(1) все уравнения системы необходимо решать последовательно 

(2) все уравнения системы необходимо решать параллельно 

(3) нет правильного ответа 


Упражнение 22:


Номер 1

Матрица какого размера получится при решении дифференциального уравнения m-го порядка (при этом каждая из табличных функций определяется на промежутке [a, b] с шагом h и включает n узловых точек)?

Ответ:

(1) n-1 m-1 

(2) n m 

(3) n+1 m+2 


Номер 2

Что представляет собой каждая i–ая строка матрицы, полученной при решении дифференциального уравнения m-го порядка?

Ответ:

(1) массив решений m табличных функций на одном i–ом шаге интегрирования 

(2) массив решений m-1 табличной функций на одном i–ом шаге интегрирования 

(3) массив решений одной j-й табличной функции по всем n шагам интегрирования 

(4) массив решений одной j-й табличной функции по всем n-1 шагам интегрирования 


Номер 3

Что является решением дифференциального уравнения m-го порядка на графике?

Ответ:

(1) одна узловая точка 

(2) 2 узловые точки 

(3) n m узловых точек 

(4) не существует решения задачи на графике 


Упражнение 23:


Номер 1

Дифференциальное уравнение высоких порядков можно

Ответ:

(1) решить методами Гаусса 

(2) решить методами Рунге-Кутта 

(3) решить методами Ньютона 


Номер 2

Чтобы решить дифференциальное уравнение высоких порядков мы их приводим к системе

Ответ:

(1) дифференциальных уравнений m-го порядка 

(2) нелинейных уравнений 

(3) дифференциальных уравнений 1-го порядка 


Номер 3

При использовании методов Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений высоких порядков на каждом шаге интегрирования все уравнения системы решаются

Ответ:

(1) перпендикулярно 

(2) параллельно 

(3) независимо 


Упражнение 24:


Номер 1

Для решения дифференциальных уравнений n-го порядка задача Коши это

Ответ:

(1) начальное значение x, начальное значение y, шаг интегрирования h, конец интервала b 

(2) начальное значение x, начальное значение y, y', …, y , шаг интегрирования h, конец интервала b 

(3) начальное значение x, начальное значение y, y', …, y , конец интервала b 


Номер 2

Решение дифференциальных уравнений n-го порядка представляются как

Ответ:

(1) аналитическая функция 

(2) табличная функция 

(3) графическая функция 


Номер 3

Если целевая функция и функция ограничений известны, то это методы

Ответ:

(1) интерполяции 

(2) оптимизации 

(3) аппроксимации 


Упражнение 25:


Номер 1

В прямых методах оптимизации при поиске экстремума используются

Ответ:

(1) значения первых производных функции 

(2) наряду с первыми и значения вторых производных функции 

(3) только значения целевой функции 


Номер 2

В градиентных методах используются

Ответ:

(1) значения первых производных функции 

(2) наряду с первыми и значения вторых производных функции 

(3) только значения целевой функции 


Номер 3

В градиентных методах 2-го порядка используются

Ответ:

(1) значения первых производных функции 

(2) наряду с первыми и значения вторых производных функции 

(3) только значения целевой функции 


Упражнение 26:


Номер 1

 Метод дихотомии является методом

Ответ:

(1) прямого поиска 

(2) градиентным методом первого порядка 

(3) градиентным методом второго порядка 


Номер 2

Метод "золотого сечения" является методом

Ответ:

(1) прямого поиска 

(2) градиентным методом 

(3) градиентным методом второго порядка 


Номер 3

В методе дихотомии, если F(x-E)<F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

Ответ:

(1) [(a+b)/2, b] 

(2) [a, (a+b)/2] 

(3) [(a+b)/2-E, (a+b)/2+E] 


Упражнение 27:


Номер 1

Метод дихотомии это

Ответ:

(1) однопараметрический метод 

(2) метод условной оптимизации 

(3) метод многомерной оптимизации 


Номер 2

В методе дихотомии если F(x-E)>F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

Ответ:

(1) [(a+b)/2, b] 

(2) [a, (a+b)/2] 

(3) [(a+b)/2-E, (a+b)/2+E] 


Номер 3

В методе дихотомии если F(x-E)<F(x+E), то для определения max выбирается отрезок

Ответ:

(1) [(a+b)/2, b] 

(2) [a, (a+b)/2] 

(3) [(a+b)/2-E, (a+b)/2+E] 


В каком случае квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод – методом прямоугольников?

  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени
  • (Правильный ответ) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки

Для изучения каких систем используется аналитическое моделирование?

  • (Правильный ответ) сравнительно простых
  • любых
  • сложных

Какие формулы применяются в методе полярных координат для вычисления независимых нормально распределенные случайных величин x1 и x2?

  • (Правильный ответ)

В каком случае квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона?

  • (Правильный ответ) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки

Как выглядит формула Эйлера?

  • нет правильного ответа
  • (Правильный ответ)

Какая функция равномерного распределения существует?

  • (Правильный ответ) дифференциальная и интегральная функции
  • только интегральная функция
  • только дифференциальная функция

Что требуется для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса при статистическом моделировании?

  • одинарное воспроизведение процесса
  • многократное воспроизведение процесса, с последующей статической обработкой полученных данных
  • (Правильный ответ) многократное воспроизведение процесса, с последующей статистической обработкой полученных данных

Укажите более точное определение имитационных моделей:

  • имитационные модели имитируют разброс опытных данных
  • имитационные модели имитируют численное решение модели
  • (Правильный ответ) имитационные модели имитируют поведение реальных объектов, процессов или систем

Как называется отношение ?

  • разделенной разностью второго порядка
  • разделенной разностью нулевого порядка
  • (Правильный ответ) разделенной разностью первого порядка

Чем аппроксимируется искомая функция y(x) на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

  • (Правильный ответ) рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h4
  • рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h2
  • рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h3

В градиентных методах 2-го порядка используются

  • наряду с первыми и значения вторых производных функции
  • (Правильный ответ) только значения целевой функции
  • значения первых производных функции

Что такое математическая модель?

  • точное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в физических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в физических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • (Правильный ответ) приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • точное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала

Какой закон называют нормальным законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины?

  • закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a — среднее квадратичное отклонение нормального распределения, — математическое ожидание случайной величины
  • (Правильный ответ) закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a — математическое ожидание случайной величины, -среднее квадратичное отклонение нормального распределения
  • закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a – дисперсия случайной величины, — математическое ожидание случайной величины

Что означает сокращенное обозначение модели СДА?

  • стохастическая, детерминированная, аналитическая
  • дискретная, стохастическая, аналитическая
  • (Правильный ответ) стохастическая, дискретная, аналитическая

Какой из шагов не входит в состав исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания при математическом моделировании, но является частью математического моделирования?

  • выделение наиболее существенных черт и свойств реального объекта или процесса
  • определение внешних связей и описание их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций
  • (Правильный ответ) построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы
  • определение переменных, т.е. параметров, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта

В сколько этапов реализуется метод Ньютона?

  • один
  • три
  • (Правильный ответ) два
  • зависит от количества уравнений

Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

  • (Правильный ответ)

Какой из способов аппроксимации данных нашел большее применение на практике?

  • нет правильного ответа
  • способ, который требует, чтобы аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, не проходила ни через одну узловую точку таблицы
  • способ, который требует, чтобы аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, проходила через все узловые точки таблицы
  • (Правильный ответ) способ, заключающийся в сглаживании опытных данных

Из какого количества этапов состоит метод Гаусса?

  • (Правильный ответ) 2
  • 5
  • 3
  • 4

По какой формуле интерполяционный многочлен имеет вид:

  • (Правильный ответ) Лагранжа
  • Ньютона
  • Стерлинга
  • Бесселя

Какая модель не является плодом человеческой мысли в общем случае?

  • математическая
  • физическая
  • знаковая
  • наглядная
  • (Правильный ответ) натурная

В методе дихотомии, если F(x-E)<F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

  • [(a+b)/2, b]
  • (Правильный ответ) [a, (a+b)/2]
  • [(a+b)/2-E, (a+b)/2+E]

это интерполяционный многочлен

  • (Правильный ответ) в явном виде
  • в форме Лагранжа
  • в форме Ньютона

На заданном отрезке [a,b] имеется только один корень, если

  • (Правильный ответ) знак производной не меняется
  • знак функции не меняется, но меняется знак производной
  • знак функции не меняется

К чему преобразуется исходная система n-го порядка в результате выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса?

  • к совокупности уравнения
  • (Правильный ответ) к совокупности уравнения и системы линейных уравнений, порядок которой равен n-1
  • к системе линейных уравнений, порядок которой равен n-1

К какому способу формирования последовательности нормально распределенных случайных величин относится метод, основанный на центральной предельной теореме?

  • отсеивание псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности
  • (Правильный ответ) моделирование условий, соответствующих центральной предельной теореме теории вероятности
  • прямое преобразование псевдослучайного числа
  • обратное преобразование псевдослучайного числа

Как добиться того чтобы результаты по методу Эйлера, модифицированному методу Эйлера и методу Рунге-Кутта 4-го порядка были почти одинаковыми

  • (Правильный ответ) уменьшая шаг интегрирования
  • увеличивая шаг интегрирования
  • удваивая шаг интегрирования

Какой фактор определяет использование статистической имитационной модели?

  • скорость процесса
  • (Правильный ответ) случайные воздействия
  • высокая требуемая точность
  • количество имитируемых элементов

Интерполяция — это

  • (Правильный ответ) нахождение значения таблично заданной функции внутри заданного интервала
  • восстановление функции в точках за пределами заданного интервала табличной функции
  • усреднение или сглаживание табличной функции

Какая величина называется непрерывной?

  • случайную величину, которая может принимать только одно значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка
  • случайная величина, которая может принимать только одно значение из некоторого конечного и все значения бесконечного промежутка
  • (Правильный ответ) случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка

Как звучит постановка в численных методах задача Коши для системы y(x) с учетом двух начальных условия: y(x0)=y0, y1(x0)=(y1)0?

  • (Правильный ответ) найти табличные функции y(x) и (y1)(x),
  • нет правильного ответа
  • найти табличные функции y(x) и (y1)(x),

Каким количеством нелинейных уравнений описывается модель, если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы?

  • тремя нелинейными уравнениями
  • двумя нелинейными уравнениями
  • (Правильный ответ) одним нелинейным уравнением

К какому уравнению неприменимо отделение корней?

  • (Правильный ответ) применимо к обоим
  • трансцендентному
  • алгебраическому

Можно ли методом серединного квадрата генерировать натуральные числа?

  • нет, в любом случае
  • (Правильный ответ) да, в любом случае
  • да, если правильно подобрать первое число

Пересечение касательной к функции и осью абсцисс дает точку, используемую в методе

  • во всех указанных методах
  • простых итераций
  • половинного деления
  • (Правильный ответ) Ньютона

В чем заключается сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов?

  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были максимальными
  • (Правильный ответ) при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были минимальными
  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по большинству узловых точек были максимальными
  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по большинству узловых точек были минимальными

К каким методам относятся численные методы по характеру результата?

  • нет правильного ответа
  • (Правильный ответ) приближенным
  • точным

Какое количество этапов в решении задачи моделирования случайных величин с нормальным законом распределения?

  • 1
  • 3
  • (Правильный ответ) 2
  • 4

Сколько этапов можно выделить для решения задачи генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения?

  • (Правильный ответ) 2
  • 1
  • 4
  • 3

Дисперсия постоянной величины C равна

  • CD(1)
  • постоянной ненулевой величине
  • (Правильный ответ) 0
  • CD(0)

Как называются модели, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий и их элементы (элементы модели) достаточно точно установлены?

  • статические
  • (Правильный ответ) детерминированные
  • дискретные
  • динамические

Как еще называется метод Эйлера?

  • метод Рунге–Кутта второго порядка
  • (Правильный ответ) метод Рунге–Кутта первого порядка
  • метод Рунге–Кутта четвертого порядка

Отец мальчика, возвращаясь домой, заметил большое количество магазинов с колбасой и решил купить для сына килограмм, он заходил в каждый магазин и записывал цены в таблицу, однако возвращаться в магазин, где он уже был он не хочет, поэтому он решил определить вероятность того, дороже или дешевле будет колбаса в следующем магазине. Какую математическую модель взять отцу за основу?

  • (Правильный ответ) СДА
  • СНА
  • ДДА
  • СНИ
  • ДНА

В каком случае уравнение f(x)=0 называется трансцендентным уравнением?

  • если функция f(x) имеет вид многочлена степени m,
  • (Правильный ответ) если функция f(x) включает в себя тригонометрические функции от некоторого аргумента x
  • (Правильный ответ) если функция f(x) включает в себя экспоненциальные функции от некоторого аргумента x

Какие математические модели применяются при имитационном моделировании?

  • с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели для всех возможных исходных данных
  • (Правильный ответ) с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели при заданных исходных данных
  • с помощью которых можно заранее вычислить или предсказать поведение системы, и для предсказания поведения системы нет необходимости в применении вычислительного эксперимента (имитации) на математической модели при заданных исходных данных

Математическое ожидание есть

  • (Правильный ответ) неслучайная величина для дискретной и непрерывной величины
  • неслучайная величина для дискретной величины
  • случайная величина для дискретной и непрерывной величины
  • случайная величина для дискретной величины
  • неслучайная величина для непрерывной величины
  • случайная величина для непрерывной величины

Метод «золотого сечения» является методом

  • градиентным методом
  • (Правильный ответ) прямого поиска
  • градиентным методом второго порядка

К какой форме представления (задания) закона распределения относится биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли Pn(k)=Cnkpkqn-k (где k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий, а q = 1-p – вероятность не появления событий)?

  • табличное задание
  • графическое задание
  • (Правильный ответ) аналитическое задание

В простейшем случае при расчете определенного интеграла функции его представляют в виде:

  • (Правильный ответ) суммы значений функции
  • произведения значений функции
  • разность значений функции

Для какого из методов больше подойдет характеристика: численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками

  • метод Ньютона
  • метод секущих
  • метод хорд
  • линейный конгруэнтный метод
  • (Правильный ответ) метод Монте-Карло

В чем заключается построение математической модели?

  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • (Правильный ответ) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат

Какое условие необходимо соблюдать на каждом шаге интегрирования при применении для решения системы дифференциальных уравнений тех же методов, что и для решения одного дифференциального уравнения первого порядка?

  • все уравнения системы необходимо решать последовательно
  • (Правильный ответ) все уравнения системы необходимо решать параллельно
  • нет правильного ответа

Какая задача не поддается точному решению на ЭВМ в виде формул?

  • (Правильный ответ) все указанные поддаются
  • дифференциально-интегральная система уравнений
  • интегральное уравнение 1-го порядка
  • дифференциальная система уравнений
  • система нелинейных уравнений

К каким случайным величинам применим способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически?

  • только к непрерывным
  • (Правильный ответ) только к дискретным
  • к любым

При каком условии прекращается процесс поиска корня по методу простых итераций?

  • (Правильный ответ)

В задаче о камне, брошенном под углом к горизонту, решенной в явном виде, как зависимость координаты от времени, была применена модель

  • ДДА
  • СДИ
  • СДА
  • (Правильный ответ) ДНА
  • СНИ

Как определить значение нормально распределенной случайной величины с требуемым математическим ожиданием и требуемым среднеквадратичным отклонением для двенадцати (k=12) равномерно распределенных случайных величин?

  • (Правильный ответ)

Какой модели быть не может?

  • вещественной, математической
  • вещественной, физической
  • (Правильный ответ) идеальной, физической
  • идеальной, математической

Какой метод называется градиентным?

  • (Правильный ответ) метод, в котором для нахождения корня используется значение производной
  • метод, в котором для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала изоляции
  • метод, в котором для нахождения корня используется нахождение значения функции на границах интервала изоляции

Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

  • 1
  • 4
  • (Правильный ответ) 3
  • 2

Какой из методов не содержит рекуррентной формулы?

  • серединного квадрата
  • квадратичный конгруэнтный
  • (Правильный ответ) все указанные содержат
  • линейно конгруэнтный

Что необходимо сделать для построения интерполяционного многочлена в явном виде?

  • (Правильный ответ) получить систему уравнений:
  • нет правильного ответа
  • получить уравнение: a0x1n+ a1x1n-1+…+ an-1×1+an=yi, i= n

Укажите метод, неприменяемый для компьютерного моделирования:

  • (Правильный ответ) экспериментальный анализ
  • точное решение в виде формул
  • численное решение

Метод половинного деления применим для случая

  • алгебраического уравнения
  • трансцендентного уравнения
  • (Правильный ответ) применимо к обоим

Разделенные разности используются интерполяционным многочленом в формах

  • (Правильный ответ) Ньютона
  • Лагранжа
  • в явном виде

В чем состоит суть «метода середины квадрата»?

  • (Правильный ответ) в том, что предыдущее случайное число возводится в квадрат, а затем из результата извлекаются средние цифры
  • в выборе четырех «магических чисел»: x0— начальное значение, ; — множитель, ; c— приращение, ; m— модуль,

К какому уравнению неприменимо отделение корней?

Перейти

Точность h модифицированного метода Эйлера

Перейти

Методы какой группы позволяют получить решение системы за конечное число итераций?

Перейти

На чем основаны методы Рунге–Кутта?

Перейти

Какая задача возникает при реализации на ЭВМ статистического моделирования?

Перейти

Какое максимальное количество моделей одного объекта можно составить?

Перейти

К какому классу моделей можно отнести спичечный коробок, если представить его моделью системного блока ПК при планировании своего рабочего места?

Перейти

Что требуется для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса при статистическом моделировании?

Перейти

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем, на какие группы могут быть разделены математические модели?

Перейти

Какие последовательности случайных чисел называются псевдослучайными или квазислучайными?

Перейти

Из какого количества этапов состоит метод Ньютона?

Перейти

В чем заключается центральная предельная теорема?

Перейти

y(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+ ldots+a_n это интерполяционный многочлен

Перейти

Трансцендентное уравнение sin(mx-10)+sin((m-1)-10)+…+sin(10)=0 имеет

Перейти

Какие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования?

Перейти

Какой вид моделирования основывается на построении математических моделей для описания изучаемых процессов и на использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием и способных вести диалог с человеком?

Перейти

Как описывается функционирование элементарных явлений, подсистем и модулей при использовании имитационного моделирования?

Перейти

Сколько матриц Якоби необходимо сформировать в методе Ньютона?

Перейти

В каком случае квадратурная формула называется формулой трапеций, а метод – методом трапеций?

Перейти

Интерполяционная функция

Перейти

Если добавить экспериментальные точки, то в методе Ньютона нужно

Перейти

Какой шаг при вычислении интеграла численными методами необходимо выполнить вторым?

Перейти

Какой вид имеет система нелинейных уравнений?

Перейти

Отец мальчика, возвращаясь домой, заметил большое количество магазинов с колбасой и решил купить для сына килограмм, он заходил в каждый магазин и записывал цены в таблицу, однако возвращаться в магазин, где он уже был он не хочет, поэтому он решил определить вероятность того, дороже или дешевле будет колбаса в следующем магазине. Какую математическую модель взять отцу за основу?

Перейти

Как называется модель, если между ней и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие?

Перейти

Что требуется для генерации последовательности нормально распределенной случайной величины классическими методами?

Перейти

Какая модель наиболее подходит для описания движения турбулентного потока жидкости

Перейти

Какой характер носят выводы, полученные в результате исследования гипотетической модели?

Перейти

Какие методы применяются для решения системы нелинейных уравнений?

Перейти

В методе дихотомии если F(x-E)>F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

Перейти

Математическое моделирование это средство для

Перейти

Какая математическая модель не относится к стохастическим?

Перейти

Какая модель не является плодом человеческой мысли в общем случае?

Перейти

Материальная точка это не только математическая, но и

Перейти

Во время поиска лучшего результата были построены две различные математические модели: эксперимент на ЭВМ, моделирующий систему атомов и дифференциальная система уравнений, решенная численно, от двух полученных результатов взяли среднеквадратичный. Можно ли считать такой метод моделью?

Перейти

Верно ли описание: детерминированная, непрерывная, аналитическая, модель?

Перейти

Сколько классов моделей существует?

Перейти

Какие модели входят в состав идеальных математических моделей?

Перейти

Что такое математическая модель?

Перейти

Как называются модели, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий и их элементы (элементы модели) достаточно точно установлены?

Перейти

От какого количества факторов зависит математическое описание исследуемых процессов и систем?

Перейти

Если игровой автомат наряду со случайными комбинациями управляется устройством, которое всегда стремится, чтобы человек проиграл, можно ли к такому автомату построить какую либо из предложенных математических моделей?

Перейти

Чтобы описать количество улова за день, рыбак использовал СДА модель, где получил зависимость улова от времени суток, но ему хотелось бы получить зависимость улова от времени на часах, какую модель стоит ему посоветовать?

Перейти

Посредством каких конструкций, математические модели описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи?

Перейти

Что не входит в предмет математического моделирования?

Перейти

Какие изучаются зависимости между величинами, описывающими процессы, при их моделировании?

Перейти

При исследовании гипотетической модели какого характера получатся выводы?

Перейти

После исследования распространения радиоволн в прямоугольном волноводе вывели систему дифференциальных уравнений, которую решили численно на ЭВМ, какими будут полученные результаты?

Перейти

В простейшем случае при расчете определенного интеграла функции его представляют в виде:

Перейти

Какой из методов применяется чаще на практике?

Перейти

В чем состоит суть компьютерного моделирования?

Перейти

Какое преимущество имеет вычислительный эксперимент по сравнению с натурным экспериментом?

Перейти

Что происходит с результатами исследований на ЭВМ при проверке адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?

Перейти

Для чего могут применяться результаты проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы?

Перейти

На какие группы можно разделить все методы решения математических задач?

Перейти

Метод половинного деления применим для случая

Перейти

Каким количеством нелинейных уравнений описывается модель, если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы?

Перейти

Как называется интервал, в котором лежит уточняемый корень уравнения?

Перейти

Какое количество этапов содержит процесс определения корней алгебраических и трансцендентных уравнений?

Перейти

Какая из операций не входит в последовательность операций, необходимых для уточнения корня методом половинного деления?

Перейти

При каком условии прекращается процесс поиска корня по методу простых итераций?

Перейти

В методе простых итераций условие сходимости имеет вид

Перейти

Какой рекуррентной формулой реализуется итерационный процесс схождения к корню?

Перейти

Как еще называют модифицированный метод Ньютона?

Перейти

Какая рекуррентная формула применяется в модифицированном методе Ньютона?

Перейти

В каком из описанных случаев не рекомендуется имитационное моделирование?

Перейти

Укажите численный метод, моделирующий последовательности псевдослучайных чисел с заданными вероятностными характеристиками:

Перейти

Что из перечисленного не является минусом имитационного моделирования?

Перейти

Возможно ли совместное использование имитационного и аналитического моделирования в рамках одной задачи?

Перейти

С помощью каких типов математических моделей можно исследовать реальные процессы и системы?

Перейти

Что не относится к достоинствам имитационного моделирования?

Перейти

Рекомендуется ли применять имитационное моделирование в случаях, когда кроме оценки влияния параметров (переменных) процесса или системы необходимо осуществить наблюдение за поведением компонент (элементов) процесса или системы в течение определенного периода?

Перейти

Чем оперируют в вероятностном имитационном моделировании?

Перейти

Что такое статистическая модель случайного процесса?

Перейти

Какая возникает задача при реализации на ЭВМ статистического имитационного моделирования?

Перейти

Какая величина называется непрерывной?

Перейти

Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

Перейти

Какое свойство не является свойством интегральной функции распределения?

Перейти

В каком случае распределение вероятностей называют равномерным?

Перейти

Какая функция равномерного распределения существует?

Перейти

По какой формуле определяется вероятность того, что нормальная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d)?

Перейти

Зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и вероятностью ее появления называют

Перейти

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенной в интервале (a,b), равна

Перейти

Что не является числовой характеристикой случайной величины?

Перейти

Дисперсия постоянной величины C равна

Перейти

Какой метод получил название «Метод Монте-Карло»?

Перейти

Какое распределение называется равномерным?

Перейти

Какие требования являются общими для всех известных методов имитации равномерного распределения?

Перейти

Что не является недостатком «метода середины квадрата»?

Перейти

Пусть рекуррентная формула содержит в качестве переменных три предыдущих значения (например, X[N]=X[N-1]/3+(X[N-2]-X[N-3])/6) За первые три числа взяты единицы. Генерация непрерывных псевдослучайных чисел начинается с 4. Будет ли при повторном запуске генератора числа отличные от первого запуска?

Перейти

Какие из методов содержат рекуррентную формулу?

Перейти

Мультипликативный конгруэнтный метод характеризуется

Перейти

Укажите число, которое не требуется для генерации чисел по линейно конгруэнтному методу:

Перейти

Какое количество этапов в решении задачи моделирования случайных величин с нормальным законом распределения?

Перейти

К какому способу формирования последовательности нормально распределенных случайных величин относится метод, основанный на центральной предельной теореме?

Перейти

Среднеквадратичное отклонение двух случайных величин, сгенерированных по методу полярных координат будет

Перейти

Какой метод не несет в себе цель сгенерировать нормально распределенную случайную величину?

Перейти

В эксперименте было решено использовать значение текущего времени в миллисекундах, выдаваемое компьютером, чтобы сгенерировать первоначальное псевдослучайное число. В каком методе это можно применить?

Перейти

Каким методом можно сгенерировать на ЭВМ нормально распределенные случайные величины в бесконечном интервале значений (в пределах доступных переменных)?

Перейти

Как называется параметр bi в системе линейных уравнений?

Перейти

Как выглядит матрица коэффициентов системы порядка (n n)?

Перейти

В основе какого метода лежит идея последовательного исключения неизвестных?

Перейти

Из какого количества этапов состоит метод Гаусса?

Перейти

Какое количество шагов необходимо для того, чтобы выполнить поиск ненулевого ведущего элемента?

Перейти

Укажите, какие методы не являются численными для решения систем линейных уравнений:

Перейти

Формула какого рода используется на обратном шаге метода Гаусса при нахождении корней?

Перейти

Для применения метода простых итераций необходима

Перейти

Какой из методов обладает большей точностью при решении системы линейных уравнений в общем случае?

Перейти

Что означает решить систему нелинейных уравнений?

Перейти

Как называется область, в которой начальное приближение overline{X^0} сходится к искомому решению?

Перейти

Для решения каких систем линейных уравнений применяется метод простых итераций?

Перейти

Какой ряд более удобен для разложения в методе Ньютона?

Перейти

В сколько этапов реализуется метод Ньютона?

Перейти

Что означает фраза дана табличная функция?

Перейти

В чем состоит задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции)?

Перейти

Каким способом решаются задачи интерполяции и экстраполяции?

Перейти

Как называется интерполирование, выполняемое с помощью алгебраических многочленов?

Перейти

По какой формуле интерполяционный многочлен имеет вид: L_n(x)=f(x_0)+(x-x_0) cdot f(x_0; x_1)+ + (x-x_0) cdot (x-x_1) cdot f(x_0; x_1; x_2)++ (x-x_0) cdot (x-x_1) cdot (x-x_2) cdot f(x_0; x_1; x_2; x_3)+ ldots ++ (x-x_0) cdot (x-x_1) cdot ldots cdot (x-x_n-1) cdot f(x_0; x_1; ldots; x_n)

Перейти

Чему равен параметр P формулы L_n(x)=y_0+ sum limits_{k=1}^{n}P cdot y_0^*, полученной в результате свертки формулы Ньютона?

Перейти

Что требуют первые 2n условия сплайн-интерполяции?

Перейти

В чем заключается сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов?

Перейти

Метод Лагранжа используется для

Перейти

Если добавить экспериментальные точки, то в методе Лагранжа

Перейти

Какие системы называют динамическими?

Перейти

К каким методам относятся численные методы по характеру результата?

Перейти

Что называется остаточным членом?

Перейти

В каком случае квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод – методом прямоугольников?

Перейти

Какой порядок имеет точность метода трапеций?

Перейти

Формула Ньютона-Лейбница используется

Перейти

Численные методы интегрирования являются

Перейти

Какое количество шагов надо выполнить, чтобы проинтегрировать методом прямоугольников функцию на отрезке [a,b] с шагом h?

Перейти

Какой из параметров не влияет на ошибку методов Симпсона, трапеций и прямоугольников?

Перейти

Как выглядит нормальная форма дифференциального уравнения?

Перейти

Что является общим решением обыкновенного дифференциального уравнения y’ = f(x,y)?

Перейти

Чему равна точность метода Эйлера на каждом шаге?

Перейти

Каким количеством прямых аппроксимируется функция у(х) на каждом шаге в модифицированном методе Эйлера?

Перейти

Чему равна ошибка на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

Перейти

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка представляется как

Перейти

Точность h метода эйлера имеет порядок

Перейти

К какой системе можно свести любое дифференциальное уравнение m–го порядка при помощи замен?

Перейти

Как выглядит нормальная форма дифференциальных уравнений второго порядка?

Перейти

Как звучит постановка в численных методах задача Коши для системы y(x) с учетом двух начальных условия: y(x0)=y0, y1(x0)=(y1)0?

Перейти

Что представляет собой каждая i–ая строка матрицы, полученной при решении дифференциального уравнения m-го порядка?

Перейти

При использовании методов Рунге-Кутта для решения дифференциальных уравнений высоких порядков на каждом шаге интегрирования все уравнения системы решаются

Перейти

Для решения дифференциальных уравнений n-го порядка задача Коши это

Перейти

В градиентных методах используются

Перейти

В методе дихотомии, если F(x-E)<F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

Перейти

Метод дихотомии это

Перейти

Какой способ необходим для описания непрерывной случайной величины ?

Перейти

Какой метод называется градиентным?

Перейти

В чем состоит суть «линейного конгруэнтного метода»?

Перейти

К какой группе методов относится правило Крамера?

Перейти

Как повысить точность статистического моделирования?

Перейти

Методы Рунге-Кутта получены при помощи разложения функции в ряд

Перейти

Как расшифровывается сокращение РПС?

Перейти

Что необходимо сделать для того, чтобы проверить выводы, полученные в результате исследования гипотетической модели?

Перейти

Посредством чего в вероятностных аналитических моделях учитывается влияние случайных факторов?

Перейти

Равномерное распределение характеризуется тем, что

Перейти

В каком случае будет формально непригоден простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления?

Перейти

Мальчик, гуляя по проспекту, пытается установить как колеблется цена на хлеб в большом ряду хлебных магазинов. Результатом он хочет получить функцию стоимости одного и того же хлеба по пути приближения к центру города по проспекту. Какую математическую модель стоит выбрать мальчику?

Перейти

В чем состоит суть «метода середины квадрата»?

Перейти

В каком случае невозможно применить численный метод интегрирования?

Перейти

Какой способ задания зависимости между различными параметрами исследуемых объектов, процессов и систем является наиболее удобным?

Перейти

Алгебраический многочлен степени m, как правило, имеет

Перейти

Сколько этапов можно выделить для решения задачи генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения?

Перейти

Как еще называют метод секущих?

Перейти

Какие этапы входят в состав методики статистического моделирования?

Перейти

Использование различных начальных значений какого параметра в обращении GAUSS (IX,S,AM,X) позволяет формировать различные последовательности нормально распределенных псевдослучайных чисел?

Перейти

Может ли идеальный электрический контур быть моделью математического маятника?

Перейти

По поведению математических моделей во времени их разделяют на

Перейти

Чем является функционал «Х» в представлении математической модели в виде системы функционалов Фi (X,Y,Z,t)=0?

Перейти

Какие группы математических моделей не являются результатом распределения моделей по их поведению во времени?

Перейти

На какие группы можно разделить математические модели по виду входной информации?

Перейти

В каком моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов?

Перейти

Какой из шагов построения математической модели сформулирован не верно?

Перейти

Что входит в предмет математического моделирования?

Перейти

Укажите метод, неприменяемый для компьютерного моделирования:

Перейти

Какая задача не поддается точному решению на ЭВМ в виде формул?

Перейти

Из двух численных методов расчета дифференциала более точен тот, который

Перейти

Какой из экспериментов наиболее выгодно применять для исследования большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации?

Перейти

Какое направление является наиболее перспективным для проведения вычислительного эксперимента?

Перейти

Укажите существующие группы решения математических задач

Перейти

Для применения способа уточнения корней необходимо

Перейти

Если при половинном делении оба интервала меняют знак, то это говорит о

Перейти

Какое максимальное количество корней имеет нелинейное уравнение f(x)=0, если функция f(x) имеет вид многочлена степени m?

Перейти

В каком случае уравнение f(x)=0 называется трансцендентным уравнением?

Перейти

Какая процедура основана на следующем свойстве непрерывности функции «если функция f(x) непрерывна на замкнутом интервале [a,b] и на его концах имеет различные знаки, т.е. f(a)f(b) < 0, то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения»?

Перейти

При каком условии прекращается процесс поиска корня по методу хорд?

Перейти

Какое из понятий не относится к вероятностным характеристикам системы?

Перейти

Какой вид моделирования характеризуется следующим описанием «на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется модель»?

Перейти

В виде каких зависимостей задается поведение РПС в аналитических моделях?

Перейти

Что понимается под алгоритмизацией функционирования РПС?

Перейти

Какая величина называется случайной?

Перейти

К какой форме представления (задания) закона распределения относится биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли Pn(k)=Cnkpkqn-k (где k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий, а q = 1-p – вероятность не появления событий)?

Перейти

Какая функция называется интегральной функцией распределения?

Перейти

В чем состоит Геометрический смысл ДФР?

Перейти

Что происходит с нормальной кривой (кривой Гаусса) при изменении величины параметра alpha (математического ожидания случайной величины)?

Перейти

Если заранее не обговорен закон распределения, то имеет ввиду

Перейти

Математическое ожидание есть

Перейти

Аддитивные методы используются для

Перейти

Можно ли методом серединного квадрата генерировать натуральные числа?

Перейти

Какой из перечисленных способов не относится к основным способам формирования последовательности нормально распределенных случайных величин?

Перейти

К какому способу формирования последовательности нормально распределенных случайных величин относится метод полярных координат?

Перейти

Центральная теорема теории вероятности говорит о

Перейти

Была поставлена задача измерить вероятностным методом число пи. Пусть в единичный квадрат случайно ставятся точки, при этом в квадрат вписана единичная окружность, как должны быть распределены случайные координаты точек (x,y), чтобы можно было измерить площадь окружности, проведя большое количество опытов и проверяя попала ли каждая точка в окружность или нет?

Перейти

Будет ли обладать цикличностью метод полярных координат, если сгенерированные равновероятно распределенные числа обладают цикличностью?

Перейти

К чему преобразуется исходная система n-го порядка в результате выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса?

Перейти

Какую систему линейных уравнений невозможно решать методом Гаусса?

Перейти

Если в случае, когда система нелинейных уравнений имеет несколько возможных решений и по методу простых итераций найдено одно из них, то для поиска других требуется

Перейти

От чего зависит эффективность всех итерационных методов?

Перейти

К какому виду необходимо преобразовать исходную систему нелинейных уравнений для применения метода простых итераций?

Перейти

Какая идея лежит в основе метода Ньютона?

Перейти

Какое условие должно выполниться для прекращения итерационного процесса в рамках метода Ньютона?

Перейти

Основная идея метода Ньютона –

Перейти

Каким способом можно определить каждый элемент матрицы Якоби в методе Ньютона?

Перейти

Чему будет равна степень n многочлена Pn(x), если количество узловых точек N?

Перейти

Что необходимо сделать для построения интерполяционного многочлена в явном виде?

Перейти

Какой из способов аппроксимации данных нашел большее применение на практике?

Перейти

Степень интерполяционного многочлена Лагранжа:

Перейти

Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

Перейти

Что отражает параметр N2 в формуле по методу Симпсона S=sum limits_{k=1}^{N2}S_k = frac{h}{3} sum limits_{k=1}^{N2}(y_{i-1} + 4y_i + y_{i+1})?

Перейти

Какая максимальная степень степенного подынтегральной многочлена должна быть, чтобы гарантировать безошибочное вычисление интеграла методом трапеций?

Перейти

Чему равна правая часть (f(x,y)) дифференциального уравнения, представленного в нормальной форме?

Перейти

Что называется задачей Коши?

Перейти

Как еще называется метод Эйлера?

Перейти

Чему равен в графическом представлении метода Эйлера наклон касательной в пределах каждого шага?

Перейти

Метод Эйлера это:

Перейти

Как выглядят дифференциальные уравнения второго порядка в общем виде?

Перейти

Что является решением задачи Коши для системы, состоящей из двух дифференциальных уравнений первого порядка, на графике?

Перейти

Матрица какого размера получится при решении дифференциального уравнения m-го порядка (при этом каждая из табличных функций определяется на промежутке [a, b] с шагом h и включает n узловых точек)?

Перейти

Решение дифференциальных уравнений n-го порядка представляются как

Перейти

Метод «золотого сечения» является методом

Перейти

В методе дихотомии если F(x-E)<F(x+E), то для определения max выбирается отрезок

Перейти

Укажите систему, которую не следует исследовать статистическими имитационными моделями:

Перейти

По какой формуле вычисляется остаточный член?

Перейти

Как еще называют метод Ньютона?

Перейти

Какие характеристики объекта, процесса или системы устанавливаются на этапе выбора математической модели?

Перейти

Квадратурой называется

Перейти

Какое количество этапов содержит методика статистического моделирования?

Перейти

Что необходимо сделать, чтобы найти вероятность того, что отклонение случайной величины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа delta?

Перейти

Какой из методов не относится к методам уточнения приближенных значений действительных корней?

Перейти

В чем состоит задача интерполирования функции (или задача интерполяции)?

Перейти

Какая характеристика не относится к числовым характеристикам случайной величины?

Перейти

В каких случаях применяются численные методы интегрирования?

Перейти

По какой формуле проводится проверка решения задачи, найденного посредством метода Гаусса?

Перейти

К каким случайным величинам применим способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически?

Перейти

Чему равен параметр Bj формулы L-n(x)=sum limits_{j=0}^{n}B_j cdot y_j, полученной в результате свертки формулы Лагранжа?

Перейти

Чем аппроксимируется подынтегральная функция в каждой части деления в методе Симпсона?

Перейти

Какие модели относятся к классу вещественных моделей?

Перейти

Как можно охарактеризовать метод Монте-Карло?

Перейти

Как называется отношение f(x_0; x_1)= frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}?

Перейти

Как выглядит модифицированная или уточненная формула Эйлера?

Перейти

Какая из задач не имеет аналитической модели?

Перейти

Какой модели быть не может?

Перейти

При анализе движения электронов в диодном промежутке было построено две математические модели: сперва написана программа, моделирующая взаимодействие частиц, затем выведено уравнение движения электронов из теоретических соображений. Какие математические модели были применены в данных случаях?

Перейти

Какие модели нельзя отнести к классу мысленных моделей?

Перейти

На какой язык должна быть «переведена» прикладная задача для ее решения с использованием ЭВМ?

Перейти

Численный метод предполагает решение в бесконечном цикле итераций. Когда следует прервать процесс вычисления?

Перейти

Что лежит в основе компьютерного моделирования как нового метода научных исследований?

Перейти

Что позволяют делать с математическими моделями компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент?

Перейти

Какой тип математических моделей чаще всего используется в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем?

Перейти

Интервалом изоляции называется

Перейти

На заданном отрезке [a,b] имеется только один корень, если

Перейти

Что такое уточнение корней?

Перейти

Как еще можно назвать метод простых итераций?

Перейти

Как выглядит условие сходимости, применяемое в методе простых итераций?

Перейти

Укажите более точное определение имитационных моделей:

Перейти

Каким методом представляется имитационное моделирование?

Перейти

Какие математические модели применяются при имитационном моделировании?

Перейти

Что является недостатком имитационного моделирования?

Перейти

Для изучения каких систем используется аналитическое моделирование?

Перейти

Для какого из методов больше подойдет характеристика: численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками

Перейти

В чем заключается геометрический смысл интегральной функции распределения F(x)?

Перейти

Как звучит центральная предельная теорема теории вероятностей?

Перейти

Какой способ неприменим для описания дискретной случайной величины?

Перейти

Пусть найдено, что дисперсия составляет 0.01 для некоторой непрерывной величины, чему равно среднеквадратичное отклонение?

Перейти

Как называется последовательность, полученная из соотношения x_{i+1} = (alpha cdot x_i + c) cdot Mod(m), n ge 0?

Перейти

Какой из методов не содержит рекуррентной формулы?

Перейти

При каком значении m реализуется последовательность Фибоначчи (1,1,2,3,5,8,13…) для метода X[N+1]=X[N]+X[N-1] mod m.

Перейти

Какие формулы применяются в методе полярных координат для вычисления независимых нормально распределенные случайных величин x1 и x2?

Перейти

Что означает параметр S в обращении (GAUSS (IX,S,AM,X)) к датчику, представленному в виде подпрограммы GAUSS?

Перейти

Метод аппроксимации нормально распределенной случайной величины основан на сложении

Перейти

Можно ли методом, основанным на центральной предельной теореме теории вероятности или полярных координат сгенерировать псевдослучайную величину с синусоидальным распределением вероятности?

Перейти

Какой вид имеет система линейных уравнений?

Перейти

На какое количество групп можно разделить численные методы решения систем линейных уравнений?

Перейти

Как называется матрица А, применяемая в методе Ньютона, которая составленая из частных производных a_{ij}=frac{delta f_i}{delta x_j}; i=overline{1,n}; j=overline{1,n}?

Перейти

В чем заключается аппроксимация опытных данных?

Перейти

Интерполяция — это

Перейти

y(x)=y_0+(x-x_0)y(x_0, y_1)+(x-x_0)(x-x_1)y(x_1, x) это интерполяционный многочлен

Перейти

Разделенные разности используются интерполяционным многочленом в формах

Перейти

Какими уравнениями описываются динамические системы?

Перейти

Как называется нахождение приближенного значения интеграла?

Перейти

Какой вид имеет квадратурная формула, если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в левых концах каждого шага?

Перейти

Какую необходимо брать высоту прямоугольника в методе прямоугольников на интервале [a,b] в общем случае?

Перейти

Какой из методов имеет большее количество шагов?

Перейти

Как называется дифференциальное уравнения, если функция у зависит от нескольких аргументов?

Перейти

Что такое h в постановке задачи Коши в численных методах?

Перейти

Чем аппроксимируется искомая функция y(x) на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

Перейти

Производные функции y(x) каких порядков необходимо определить для сохранения членов ряда, содержащих h2 , h3,h4?

Перейти

Модифицированный метод Эйлера это:

Перейти

Какой метод считается более точным

Перейти

Как добиться того чтобы результаты по методу Эйлера, модифицированному методу Эйлера и методу Рунге-Кутта 4-го порядка были почти одинаковыми

Перейти

Что является решением дифференциального уравнения m-го порядка?

Перейти

Чтобы решить дифференциальное уравнение высоких порядков мы их приводим к системе

Перейти

В прямых методах оптимизации при поиске экстремума используются

Перейти

Какой метод решения системы нелинейных уравнений обеспечивает более быструю сходимость?

Перейти

Что является решением дифференциального уравнения m-го порядка на графике?

Перейти

На какое количество групп можно разделить все методы решения математических задач?

Перейти

Дифференциальная функция распределения это

Перейти

Пересечение касательной к функции и осью абсцисс дает точку, используемую в методе

Перейти

К какому виду должно быть приведено исходное уравнение f(x)=0 для того, чтобы можно было применить метод простых итераций?

Перейти

Дифференциальное уравнение высоких порядков можно

Перейти

К системе какого вида приводится исходная система в результате выполнения всех шагов прямого хода?

Перейти

Что означает сокращенное обозначение модели СДА?

Перейти

Как называется замещаемый моделью объект?

Перейти

Какие процессы должны отражать математические модели в задачах проектирования или исследования поведения реальных объектов, процессов или систем?

Перейти

В какое количество этапов группируются все вычисления на каждом шаге по модифицированной или уточненной формуле Эйлера для определения предварительного значения ?

Перейти

Какой из шагов не входит в состав исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания при математическом моделировании, но является частью математического моделирования?

Перейти

Каким методом является классический метод Гаусса?

Перейти

Во время изучения зависимости температуры сжатого реального газа от давления построили три различных модели: имитационную детерминированную, аналитическую детерминированную и имитационную стохастическую. Какая из моделей опишет газ наиболее точно?

Перейти

Инженеру во сне приснился новый шпиндель для двигателя, и он хочет его испытать, какую модель ему лучше предоставить токарям, чтобы ускорить процесс его изготовления?

Перейти

На какие группы можно разделить математические модели по степени их соответствия реальным объектам, процессам или системам?

Перейти

Для описания движения турбулентного потока жидкости наиболее подходит

Перейти

Какой из методов решения нелинейных уравнений не является методом прямого поиска?

Перейти

Какое условие должно выполняться, чтобы метод Ньютона обеспечивал быструю сходимость?

Перейти

Какой рекуррентной формулой реализуется итерационный процесс схождения к корню в методе хорд

Перейти

Что такое дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности)?

Перейти

Какой закон называют нормальным законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины?

Перейти

Что означают термины «случайные числа» и «последовательность случайных чисел»?

Перейти

В чем состоит суть алгоритмических методов получения равномерно распределенных псевдослучайных чисел?

Перейти

Какой метод получения случайных чисел был предложен Грином?

Перейти

Может ли множитель предыдущего значения быть меньше приращения предыдущего значения для смешанного конгруэнтного метода?

Перейти

Накапливается ли ошибка (связанная с округлением чисел с бесконечным периодом) от шага к шагу в методе Гаусса?

Перейти

Произойдет ли зацикливание алгоритма простых итераций, если корней нет в области сходимости?

Перейти

По какой формуле интерполяционный многочлен имеет вид: L_n(x)=frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ldots (x-x_n)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3) ldots (x_0-x_n)} cdot y_0 +frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3) ldots (x-x_n)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3) ldots (x_1-x_n)} cdot y_1 + frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3) ldots (x-x_n)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3) ldots (x_2-x_n)} cdot y_2 + ldots + frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_1) ldots (x-x_{n-1})}{(x_n-x_0)(x_n-x_1)(x_n-x_1) ldots (x_n-x_{n-1})} cdot y_n.

Перейти

Как называется группа кубических многочленов, в местах сопряжения которых первая и вторая производные непрерывны?

Перейти

Проведя натурный эксперимент на электроискровом станке : по различным частотам генерации импульсов подбирали амплитуду импульсов, чтобы толщина реза была постоянна. Полученные результаты можно считать

Перейти

Какой из всех численных методов решения дифференциальных уравнений с помощью ЭВМ получил самое большое распространение?

Перейти

В задаче о камне, брошенном под углом к горизонту, решенной в явном виде, как зависимость координаты от времени, была применена модель

Перейти

Какие виды математических моделей получаются при разделении их по принципам построения?

Перейти

Как выглядит общий вид дифференциального уравнения?

Перейти

Какой фактор определяет использование статистической имитационной модели?

Перейти

Посмотрев на набор различных математических моделей, математик сформировал четыре общих утверждения для всех математических моделей. Какое из утверждений для произвольной математической модели верно?

Перейти

Для того чтобы модель была гомоморфная необходимо и достаточно в рамках поставленной задачи

Перейти

В чем заключается построение математической модели?

Перейти

Какую математическую модель следует построить, чтобы определить вероятность выпадения «орла» на монете, у которой центр тяжести смещен к «решке», и поэтому она не поддается обычной теории вероятности?

Перейти

С чего обычно начинается построение математической модели?

Перейти

В каких процессах вычислительный эксперимент является единственно возможным?

Перейти

Какой вид имеет система линейных уравнений в матричной форме?

Перейти

Методы какой группы реализуют на ЭВМ нахождение корней с заданной точностью и являются итерационными методами?

Перейти

В каком случае квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона?

Перейти

Точность h метода Рунге-Кутта 4-го порядка

Перейти

Если целевая функция и функция ограничений известны, то это методы

Перейти

Какое название имеет первый этап метода Гаусса?

Перейти

Метод дихотомии является методом

Перейти

Уравнение называется трансцендентным, если

Перейти

Что происходит с областью сходимости метода Ньютона при увеличении числа неизвестных?

Перейти

Математическая модель в общем случае представляется через

Перейти

Какими знаниями необходимо обладать для построения математической модели в прикладных задачах?

Перейти

Можно ли вероятностным моделированием исследовать систему на устойчивость?

Перейти

Что такое имитационное моделирование?

Перейти

Можно ли сгенерировать на ЭВМ нормально распределенные случайные величины в бесконечном интервале значений методом полярных координат?

Перейти

Какое условие должно быть выполнено, чтобы можно было найти функцию F(x) из класса алгебраических многочленов Pn(x)=a0xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x1+ anx0?

Перейти

Какой многочлен называется интерполяционным многочленом?

Перейти

Чему равна точность модифицированного метода Эйлера на каждом шаге?

Перейти

В градиентных методах 2-го порядка используются

Перейти

Бывает ли математическая модель полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе?

Перейти

Какими методами следует решать системы, состоящие из смешанных (линейных и нелинейных) уравнений?

Перейти

При выполнении какого условия прекращается итерационный процесс поиска в рамках метода простых итераций?

Перейти

Как называются точки с координатами (xi, yi)?

Перейти

Какое условие необходимо соблюдать на каждом шаге интегрирования при применении для решения системы дифференциальных уравнений тех же методов, что и для решения одного дифференциального уравнения первого порядка?

Перейти

Как выглядит формула Эйлера?

Перейти

Какой из указанных методов не имеют периода в общем случае?

Перейти

Какие методы решения применяются для поиска корней уравнения f(x)=0 с заданной степенью точности varepsilon?

Перейти

Что происходит с нормальной кривой (кривой Гаусса) при изменении величины параметра sigma (среднего квадратичного отклонения)?

Перейти

Какое количество основных способов формирования последовательности нормально распределенных случайных величин различают?

Перейти

Какой из методов имеет приближенный характер?

Перейти

Что называется отделением корня уравнения f(x)=0?

Перейти

Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

Перейти

Для решения дифференциальных уравнений 1-го порядка необходимо

Перейти

From Wikipedia, the free encyclopedia

Simpson’s rule can be derived by approximating the integrand f (x) (in blue) by the quadratic interpolant P(x) (in red).

An animation showing how Simpson’s rule approximates the function with a parabola and the reduction in error with decreased step size

An animation showing how Simpson’s rule approximation improves with more strips.

In numerical integration, Simpson’s rules are several approximations for definite integrals, named after Thomas Simpson (1710–1761).

The most basic of these rules, called Simpson’s 1/3 rule, or just Simpson’s rule, reads

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

In German and some other languages, it is named after Johannes Kepler, who derived it in 1615 after seeing it used for wine barrels (barrel rule, Keplersche Fassregel). The approximate equality in the rule becomes exact if f is a polynomial up to and including 3rd degree.

If the 1/3 rule is applied to n equal subdivisions of the integration range [ab], one obtains the composite Simpson’s 1/3 rule. Points inside the integration range are given alternating weights 4/3 and 2/3.

Simpson’s 3/8 rule, also called Simpson’s second rule, requires one more function evaluation inside the integration range and gives lower error bounds, but does not improve on order of the error.

If the 3/8 rule is applied to n equal subdivisions of the integration range [ab], one obtains the composite Simpson’s 3/8 rule.

Simpson’s 1/3 and 3/8 rules are two special cases of closed Newton–Cotes formulas.

In naval architecture and ship stability estimation, there also exists Simpson’s third rule, which has no special importance in general numerical analysis, see Simpson’s rules (ship stability).

Simpson’s 1/3 rule[edit]

Simpson’s 1/3 rule, also simply called Simpson’s rule, is a method for numerical integration proposed by Thomas Simpson. It is based upon a quadratic interpolation. Simpson’s 1/3 rule is as follows:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right]&={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

where {displaystyle h=(b-a)/2} is the step size.

The error in approximating an integral by Simpson’s rule for n=2 is

{displaystyle -{frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(xi )=-{frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(xi ),}

where xi (the Greek letter xi) is some number between a and b.[1][2]

The error is asymptotically proportional to {displaystyle (b-a)^{5}}. However, the above derivations suggest an error proportional to {displaystyle (b-a)^{4}}. Simpson’s rule gains an extra order because the points at which the integrand is evaluated are distributed symmetrically in the interval {displaystyle [a, b]}.

Since the error term is proportional to the fourth derivative of f at xi , this shows that Simpson’s rule provides exact results for any polynomial f of degree three or less, since the fourth derivative of such a polynomial is zero at all points. Another way to see this result is to note that any interpolating cubic polynomial can be expressed as the sum of the unique interpolating quadratic polynomial plus an arbitrarily scaled cubic polynomial that vanishes at all three points in the interval, and the integral of this second term vanishes because it is odd within the interval.

If the second derivative f'' exists and is convex in the interval {displaystyle (a, b)}, then

{displaystyle (b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)+{frac {1}{3}}left({frac {b-a}{2}}right)^{3}f''left({frac {a+b}{2}}right)leq int _{a}^{b}f(x),dxleq {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Derivations[edit]

Quadratic interpolation[edit]

One derivation replaces the integrand f(x) by the quadratic polynomial (i.e. parabola) P(x) that takes the same values as f(x) at the end points a and b and the midpoint {displaystyle m=(a+b)/2}. One can use Lagrange polynomial interpolation to find an expression for this polynomial,

{displaystyle P(x)=f(a){frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

Using integration by substitution, one can show that[3][2]

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Introducing the step size {displaystyle h=(b-a)/2}, this is also commonly written as

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Because of the 1/3 factor, Simpson’s rule is also referred to as «Simpson’s 1/3 rule» (see below for generalization).

Averaging the midpoint and the trapezoidal rules[edit]

Another derivation constructs Simpson’s rule from two simpler approximations: the midpoint rule

{displaystyle M=(b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)}

and the trapezoidal rule

{displaystyle T={frac {1}{2}}(b-a){big (}f(a)+f(b){big )}.}

The errors in these approximations are

{displaystyle {frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big )}}

and

{displaystyle -{frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big )}}

respectively, where {displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big )}} denotes a term asymptotically proportional to {displaystyle (b-a)^{4}}. The two {displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big )}} terms are not equal; see Big O notation for more details. It follows from the above formulas for the errors of the midpoint and trapezoidal rule that the leading error term vanishes if we take the weighted average
{displaystyle {frac {2M+T}{3}}.}
This weighted average is exactly Simpson’s rule.

Using another approximation (for example, the trapezoidal rule with twice as many points), it is possible to take a suitable weighted average and eliminate another error term. This is Romberg’s method.

Undetermined coefficients[edit]

The third derivation starts from the ansatz

{displaystyle {frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dxapprox alpha f(a)+beta fleft({frac {a+b}{2}}right)+gamma f(b).}

The coefficients α, β and γ can be fixed by requiring that this approximation be exact for all quadratic polynomials. This yields Simpson’s rule. (This derivation is essentially a less rigorous version of the quadratic interpolation derivation, where one saves significant calculation effort by guessing the correct functional form.)

Composite Simpson’s 1/3 rule[edit]

If the interval of integration [a,b] is in some sense «small», then Simpson’s rule with n=2 subintervals will provide an adequate approximation to the exact integral. By «small» we mean that the function being integrated is relatively smooth over the interval [a,b]. For such a function, a smooth quadratic interpolant like the one used in Simpson’s rule will give good results.

However, it is often the case that the function we are trying to integrate is not smooth over the interval. Typically, this means that either the function is highly oscillatory or lacks derivatives at certain points. In these cases, Simpson’s rule may give very poor results. One common way of handling this problem is by breaking up the interval [a,b] into n>2 small subintervals. Simpson’s rule is then applied to each subinterval, with the results being summed to produce an approximation for the integral over the entire interval. This sort of approach is termed the composite Simpson’s 1/3 rule, or just composite Simpson’s rule.

Suppose that the interval [a,b] is split up into n subintervals, with n an even number. Then, the composite Simpson’s rule is given by

Dividing the interval [a,b] into n subintervals of length {displaystyle h=(b-a)/n} and introducing the points x_i = a + ih for 0leq ileq n (in particular, x_0 = a and {displaystyle x_{n}=b}), we have

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hsum _{i=1}^{n/2}{big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){big ]}&={frac {1}{3}}h{big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}&={frac {1}{3}}hleft[f(x_{0})+4sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

This composite rule with n=2 corresponds with the regular Simpson’s rule of the preceding section.

The error committed by the composite Simpson’s rule is

{displaystyle -{frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi ),}

where xi is some number between a and b, and {displaystyle h=(b-a)/n} is the «step length».[4][5] The error is bounded (in absolute value) by

{displaystyle {frac {1}{180}}h^{4}(b-a)max _{xi in [a,b]}left|f^{(4)}(xi )right|.}

This formulation splits the interval [a,b] in subintervals of equal length. In practice, it is often advantageous to use subintervals of different lengths and concentrate the efforts on the places where the integrand is less well-behaved. This leads to the adaptive Simpson’s method.

Simpson’s 3/8 rule[edit]

Simpson’s 3/8 rule, also called Simpson’s second rule, is another method for numerical integration proposed by Thomas Simpson. It is based upon a cubic interpolation rather than a quadratic interpolation. Simpson’s 3/8 rule is as follows:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hleft[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right]&={frac {b-a}{8}}left[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

where {displaystyle h=(b-a)/3} is the step size.

The error of this method is

{displaystyle -{frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(xi )=-{frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(xi ),}

where xi is some number between a and b. Thus, the 3/8 rule is about twice as accurate as the standard method, but it uses one more function value. A composite 3/8 rule also exists, similarly as above.[6]

A further generalization of this concept for interpolation with arbitrary-degree polynomials are the Newton–Cotes formulas.

Composite Simpson’s 3/8 rule[edit]

Dividing the interval [a,b] into n subintervals of length {displaystyle h=(b-a)/n} and introducing the points x_i = a + ih for 0leq ileq n (in particular, x_0 = a and {displaystyle x_{n}=b}), we have

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hsum _{i=1}^{n/3}{big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){big ]}&={frac {3}{8}}h{big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}&={frac {3}{8}}hleft[f(x_{0})+3sum _{i=1, 3nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

While the remainder for the rule is shown as[6]
{displaystyle -{frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi ),}
we can only use this if n is a multiple of three. The 1/3 rule can be used for the remaining subintervals without changing the order of the error term (conversely, the 3/8 rule can be used with a composite 1/3 rule for odd-numbered subintervals).

Alternative extended Simpson’s rule[edit]

This is another formulation of a composite Simpson’s rule: instead of applying Simpson’s rule to disjoint segments of the integral to be approximated, Simpson’s rule is applied to overlapping segments, yielding[7]

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{48}}hleft[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})right].}

The formula above is obtained by combining the composite Simpson’s 1/3 rule with the one consisting of using Simpson’s 3/8 rule in the extreme subintervals and Simpson’s 1/3 rule in the remaining subintervals. The result is then obtained by taking the mean of the two formulas.

Simpson’s rules in the case of narrow peaks[edit]

In the task of estimation of full area of narrow peak-like functions, Simpson’s rules are much less efficient than trapezoidal rule. Namely, composite Simpson’s 1/3 rule requires 1.8 times more points to achieve the same accuracy as trapezoidal rule.[8] Composite Simpson’s 3/8 rule is even less accurate. Integration by Simpson’s 1/3 rule can be represented as a weighted average with 2/3 of the value coming from integration by the trapezoidal rule with step h and 1/3 of the value coming from integration by the rectangle rule with step 2h. The accuracy is governed by the second (2h step) term. Averaging of Simpson’s 1/3 rule composite sums with properly shifted frames produces the following rules:

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})right],}

where two points outside of the integrated region are exploited, and

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})right],}

where only points within integration region are used. Application of the second rule to the region of 3 points generates 1/3 Simpon’s rule, 4 points — 3/8 rule.

These rules are very much similar to the alternative extended Simpson’s rule. The coefficients within the major part of the region being integrated are one with non-unit coefficients only at the edges. These two rules can be associated with Euler–MacLaurin formula with the first derivative term and named First order Euler–MacLaurin integration rules.[8] The two rules presented above differ only in the way how the first derivative at the region end is calculated. The first derivative term in the Euler–MacLaurin integration rules accounts for integral of the second derivative, which equals the difference of the first derivatives at the edges of the integration region. It is possible to generate higher order Euler–Maclaurin rules by adding a difference of 3rd, 5th, and so on derivatives with coefficients, as defined by Euler–MacLaurin formula.

Composite Simpson’s rule for irregularly spaced data[edit]

For some applications, the integration interval {displaystyle I=[a,b]} needs to be divided into uneven intervals – perhaps due to uneven sampling of data, or missing or corrupted data points. Suppose we divide the interval I into even number N of subintervals of widths h_{k}. Then the composite Simpson’s rule is given by[9]

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=sum _{i=0}^{N/2-1}{frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}left[left(2-{frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}right)f_{2i}+{frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+left(2-{frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}right)f_{2i+2}right],}

where

{displaystyle f_{k}=fleft(a+sum _{i=0}^{k-1}h_{i}right)}

are the function values at the kth sampling point on the interval I.

In case of odd number N of subintervals, the above formula are used up to the second to last interval,
and the last interval is handled separately by adding the following to the result:[10]

{displaystyle alpha f_{N}+beta f_{N-1}-eta f_{N-2},}

where

{displaystyle {begin{aligned}alpha &={frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},[1ex]beta &={frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},[1ex]eta &={frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.end{aligned}}}

Example implementation in Python
from collections.abc import Sequence

def simpson_nonuniform(x: Sequence[float], f: Sequence[float]) -> float:
    """
    Simpson rule for irregularly spaced data.

    :param x: Sampling points for the function values
    :param f: Function values at the sampling points

    :return: approximation for the integral

    See ``scipy.integrate.simpson`` and the underlying ``_basic_simpson``
    for a more performant implementation utilizing numpy's broadcast.
    """
    N = len(x) - 1
    h = [x[i + 1] - x[i] for i in range(0, N)]
    assert N > 0

    result = 0.0
    for i in range(1, N, 2):
        h0, h1 = h[i - 1], h[i]
        hph, hdh, hmh = h1 + h0, h1 / h0, h1 * h0
        result += (hph / 6) * (
            (2 - hdh) * f[i - 1] + (hph**2 / hmh) * f[i] + (2 - 1 / hdh) * f[i + 1]
        )

    if N % 2 == 1:
        h0, h1 = h[N - 2], h[N - 1]
        result += f[N]     * (2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1) / (6 * (h0 + h1))
        result += f[N - 1] * (h1 ** 2 + 3 * h1 * h0)     / (6 * h0)
        result -= f[N - 2] * h1 ** 3                     / (6 * h0 * (h0 + h1))
    return result
Example implementation in R
SimpsonInt <- function(fx, dx) {
  n <- length(dx)
  h <- diff(dx)
  stopifnot(exprs = {
    length(fx) == n
    all(h >= 0)
  })
  res <- 0
  for (i in seq(1L, n - 2L, 2L)) {
    hph <- h[i] + h[i + 1L]
    hdh <- h[i + 1L] / h[i]
    res <- res + hph / 6 *
      ((2 - hdh) * fx[i] +
         hph ^ 2 / (h[i] * h[i + 1L]) * fx[i + 1L] +
         (2 - 1 / hdh) * fx[i + 2L])
  }

  if (n %% 2 == 0) {
    hph <- h[n - 1L] + h[n - 2L]
    threehth <- 3 * h[n - 1L] * h[n - 2L]
    sixh2 <- 6 * h[n - 2L]
    h1sq <- h[n - 1L] ^ 2
    res <- res +
      (2 * h1sq + threehth) / (6 * hph) * fx[n] +
      (h1sq + threehth) / sixh2 * fx[n - 1L] -
      (h1sq * h[n - 1L]) / (sixh2 * hph) * fx[n - 2L]
  }
  res
}

See also[edit]

  • Newton–Cotes formulas
  • Gaussian quadrature

Notes[edit]

  1. ^ Atkinson 1989, equation (5.1.15).
  2. ^ a b Süli & Mayers 2003, §7.2.
  3. ^ Atkinson 1989, p. 256.
  4. ^ Atkinson 1989, pp. 257–258.
  5. ^ Süli & Mayers 2003, §7.5.
  6. ^ a b Matthews 2004.
  7. ^ Weisstein, Equation 35.
  8. ^ a b Kalambet, Kozmin & Samokhin 2018.
  9. ^ Shklov 1960.
  10. ^ Cartwright 2017, Equation 8. The equation in Cartwright is calculating the first interval whereas the equations in the Wikipedia article are adjusting for the last integral. If the proper algebraic substitutions are made, the equation results in the values shown.

References[edit]

  • Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
  • Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis (7th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
  • Cartwright, Kenneth V. (September 2017). «Simpson’s Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data» (PDF). Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education. 12 (2): 1–9. Retrieved 18 December 2022.
  • Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). «Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks». Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
  • Matthews, John H. (2004). «Simpson’s 3/8 Rule for Numerical Integration». Numerical Analysis — Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. Archived from the original on 4 December 2008. Retrieved 11 November 2008.
  • Shklov, N. (December 1960). «Simpson’s Rule for Unequally Spaced Ordinates». The American Mathematical Monthly. 67 (10): 1022–1023. doi:10.2307/2309244. JSTOR 2309244.
  • Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
  • Weisstein, Eric W. «Newton-Cotes Formulas». MathWorld. Retrieved 14 December 2022.

External links[edit]

  • «Simpson formula», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. «Simpson’s Rule». MathWorld.
  • Simpson’s 1/3rd rule of integration — Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
  • A detailed description of a computer implementation is described by Dorai Sitaram in Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C

This article incorporates material from Code for Simpson’s rule on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

From Wikipedia, the free encyclopedia

Simpson’s rule can be derived by approximating the integrand f (x) (in blue) by the quadratic interpolant P(x) (in red).

An animation showing how Simpson’s rule approximates the function with a parabola and the reduction in error with decreased step size

An animation showing how Simpson’s rule approximation improves with more strips.

In numerical integration, Simpson’s rules are several approximations for definite integrals, named after Thomas Simpson (1710–1761).

The most basic of these rules, called Simpson’s 1/3 rule, or just Simpson’s rule, reads

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

In German and some other languages, it is named after Johannes Kepler, who derived it in 1615 after seeing it used for wine barrels (barrel rule, Keplersche Fassregel). The approximate equality in the rule becomes exact if f is a polynomial up to and including 3rd degree.

If the 1/3 rule is applied to n equal subdivisions of the integration range [ab], one obtains the composite Simpson’s 1/3 rule. Points inside the integration range are given alternating weights 4/3 and 2/3.

Simpson’s 3/8 rule, also called Simpson’s second rule, requires one more function evaluation inside the integration range and gives lower error bounds, but does not improve on order of the error.

If the 3/8 rule is applied to n equal subdivisions of the integration range [ab], one obtains the composite Simpson’s 3/8 rule.

Simpson’s 1/3 and 3/8 rules are two special cases of closed Newton–Cotes formulas.

In naval architecture and ship stability estimation, there also exists Simpson’s third rule, which has no special importance in general numerical analysis, see Simpson’s rules (ship stability).

Simpson’s 1/3 rule[edit]

Simpson’s 1/3 rule, also simply called Simpson’s rule, is a method for numerical integration proposed by Thomas Simpson. It is based upon a quadratic interpolation. Simpson’s 1/3 rule is as follows:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right]&={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

where {displaystyle h=(b-a)/2} is the step size.

The error in approximating an integral by Simpson’s rule for n=2 is

{displaystyle -{frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(xi )=-{frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(xi ),}

where xi (the Greek letter xi) is some number between a and b.[1][2]

The error is asymptotically proportional to {displaystyle (b-a)^{5}}. However, the above derivations suggest an error proportional to {displaystyle (b-a)^{4}}. Simpson’s rule gains an extra order because the points at which the integrand is evaluated are distributed symmetrically in the interval {displaystyle [a, b]}.

Since the error term is proportional to the fourth derivative of f at xi , this shows that Simpson’s rule provides exact results for any polynomial f of degree three or less, since the fourth derivative of such a polynomial is zero at all points. Another way to see this result is to note that any interpolating cubic polynomial can be expressed as the sum of the unique interpolating quadratic polynomial plus an arbitrarily scaled cubic polynomial that vanishes at all three points in the interval, and the integral of this second term vanishes because it is odd within the interval.

If the second derivative f'' exists and is convex in the interval {displaystyle (a, b)}, then

{displaystyle (b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)+{frac {1}{3}}left({frac {b-a}{2}}right)^{3}f''left({frac {a+b}{2}}right)leq int _{a}^{b}f(x),dxleq {frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Derivations[edit]

Quadratic interpolation[edit]

One derivation replaces the integrand f(x) by the quadratic polynomial (i.e. parabola) P(x) that takes the same values as f(x) at the end points a and b and the midpoint {displaystyle m=(a+b)/2}. One can use Lagrange polynomial interpolation to find an expression for this polynomial,

{displaystyle P(x)=f(a){frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.}

Using integration by substitution, one can show that[3][2]

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {b-a}{6}}left[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Introducing the step size {displaystyle h=(b-a)/2}, this is also commonly written as

{displaystyle int _{a}^{b}P(x),dx={frac {1}{3}}hleft[f(a)+4fleft({frac {a+b}{2}}right)+f(b)right].}

Because of the 1/3 factor, Simpson’s rule is also referred to as «Simpson’s 1/3 rule» (see below for generalization).

Averaging the midpoint and the trapezoidal rules[edit]

Another derivation constructs Simpson’s rule from two simpler approximations: the midpoint rule

{displaystyle M=(b-a)fleft({frac {a+b}{2}}right)}

and the trapezoidal rule

{displaystyle T={frac {1}{2}}(b-a){big (}f(a)+f(b){big )}.}

The errors in these approximations are

{displaystyle {frac {1}{24}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big )}}

and

{displaystyle -{frac {1}{12}}(b-a)^{3}f''(a)+O{big (}(b-a)^{4}{big )}}

respectively, where {displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big )}} denotes a term asymptotically proportional to {displaystyle (b-a)^{4}}. The two {displaystyle O{big (}(b-a)^{4}{big )}} terms are not equal; see Big O notation for more details. It follows from the above formulas for the errors of the midpoint and trapezoidal rule that the leading error term vanishes if we take the weighted average
{displaystyle {frac {2M+T}{3}}.}
This weighted average is exactly Simpson’s rule.

Using another approximation (for example, the trapezoidal rule with twice as many points), it is possible to take a suitable weighted average and eliminate another error term. This is Romberg’s method.

Undetermined coefficients[edit]

The third derivation starts from the ansatz

{displaystyle {frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}f(x),dxapprox alpha f(a)+beta fleft({frac {a+b}{2}}right)+gamma f(b).}

The coefficients α, β and γ can be fixed by requiring that this approximation be exact for all quadratic polynomials. This yields Simpson’s rule. (This derivation is essentially a less rigorous version of the quadratic interpolation derivation, where one saves significant calculation effort by guessing the correct functional form.)

Composite Simpson’s 1/3 rule[edit]

If the interval of integration [a,b] is in some sense «small», then Simpson’s rule with n=2 subintervals will provide an adequate approximation to the exact integral. By «small» we mean that the function being integrated is relatively smooth over the interval [a,b]. For such a function, a smooth quadratic interpolant like the one used in Simpson’s rule will give good results.

However, it is often the case that the function we are trying to integrate is not smooth over the interval. Typically, this means that either the function is highly oscillatory or lacks derivatives at certain points. In these cases, Simpson’s rule may give very poor results. One common way of handling this problem is by breaking up the interval [a,b] into n>2 small subintervals. Simpson’s rule is then applied to each subinterval, with the results being summed to produce an approximation for the integral over the entire interval. This sort of approach is termed the composite Simpson’s 1/3 rule, or just composite Simpson’s rule.

Suppose that the interval [a,b] is split up into n subintervals, with n an even number. Then, the composite Simpson’s rule is given by

Dividing the interval [a,b] into n subintervals of length {displaystyle h=(b-a)/n} and introducing the points x_i = a + ih for 0leq ileq n (in particular, x_0 = a and {displaystyle x_{n}=b}), we have

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {1}{3}}hsum _{i=1}^{n/2}{big [}f(x_{2i-2})+4f(x_{2i-1})+f(x_{2i}){big ]}&={frac {1}{3}}h{big [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+dots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}&={frac {1}{3}}hleft[f(x_{0})+4sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2sum _{i=1}^{n/2-1}f(x_{2i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

This composite rule with n=2 corresponds with the regular Simpson’s rule of the preceding section.

The error committed by the composite Simpson’s rule is

{displaystyle -{frac {1}{180}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi ),}

where xi is some number between a and b, and {displaystyle h=(b-a)/n} is the «step length».[4][5] The error is bounded (in absolute value) by

{displaystyle {frac {1}{180}}h^{4}(b-a)max _{xi in [a,b]}left|f^{(4)}(xi )right|.}

This formulation splits the interval [a,b] in subintervals of equal length. In practice, it is often advantageous to use subintervals of different lengths and concentrate the efforts on the places where the integrand is less well-behaved. This leads to the adaptive Simpson’s method.

Simpson’s 3/8 rule[edit]

Simpson’s 3/8 rule, also called Simpson’s second rule, is another method for numerical integration proposed by Thomas Simpson. It is based upon a cubic interpolation rather than a quadratic interpolation. Simpson’s 3/8 rule is as follows:

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hleft[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right]&={frac {b-a}{8}}left[f(a)+3fleft({frac {2a+b}{3}}right)+3fleft({frac {a+2b}{3}}right)+f(b)right],end{aligned}}}

where {displaystyle h=(b-a)/3} is the step size.

The error of this method is

{displaystyle -{frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(xi )=-{frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(xi ),}

where xi is some number between a and b. Thus, the 3/8 rule is about twice as accurate as the standard method, but it uses one more function value. A composite 3/8 rule also exists, similarly as above.[6]

A further generalization of this concept for interpolation with arbitrary-degree polynomials are the Newton–Cotes formulas.

Composite Simpson’s 3/8 rule[edit]

Dividing the interval [a,b] into n subintervals of length {displaystyle h=(b-a)/n} and introducing the points x_i = a + ih for 0leq ileq n (in particular, x_0 = a and {displaystyle x_{n}=b}), we have

{displaystyle {begin{aligned}int _{a}^{b}f(x),dx&approx {frac {3}{8}}hsum _{i=1}^{n/3}{big [}f(x_{3i-3})+3f(x_{3i-2})+3f(x_{3i-1})+f(x_{3i}){big ]}&={frac {3}{8}}h{big [}f(x_{0})+3f(x_{1})+3f(x_{2})+2f(x_{3})+3f(x_{4})+3f(x_{5})+2f(x_{6})+dots +2f(x_{n-3})+3f(x_{n-2})+3f(x_{n-1})+f(x_{n}){big ]}&={frac {3}{8}}hleft[f(x_{0})+3sum _{i=1, 3nmid i}^{n-1}f(x_{i})+2sum _{i=1}^{n/3-1}f(x_{3i})+f(x_{n})right].end{aligned}}}

While the remainder for the rule is shown as[6]
{displaystyle -{frac {1}{80}}h^{4}(b-a)f^{(4)}(xi ),}
we can only use this if n is a multiple of three. The 1/3 rule can be used for the remaining subintervals without changing the order of the error term (conversely, the 3/8 rule can be used with a composite 1/3 rule for odd-numbered subintervals).

Alternative extended Simpson’s rule[edit]

This is another formulation of a composite Simpson’s rule: instead of applying Simpson’s rule to disjoint segments of the integral to be approximated, Simpson’s rule is applied to overlapping segments, yielding[7]

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{48}}hleft[17f(x_{0})+59f(x_{1})+43f(x_{2})+49f(x_{3})+48sum _{i=4}^{n-4}f(x_{i})+49f(x_{n-3})+43f(x_{n-2})+59f(x_{n-1})+17f(x_{n})right].}

The formula above is obtained by combining the composite Simpson’s 1/3 rule with the one consisting of using Simpson’s 3/8 rule in the extreme subintervals and Simpson’s 1/3 rule in the remaining subintervals. The result is then obtained by taking the mean of the two formulas.

Simpson’s rules in the case of narrow peaks[edit]

In the task of estimation of full area of narrow peak-like functions, Simpson’s rules are much less efficient than trapezoidal rule. Namely, composite Simpson’s 1/3 rule requires 1.8 times more points to achieve the same accuracy as trapezoidal rule.[8] Composite Simpson’s 3/8 rule is even less accurate. Integration by Simpson’s 1/3 rule can be represented as a weighted average with 2/3 of the value coming from integration by the trapezoidal rule with step h and 1/3 of the value coming from integration by the rectangle rule with step 2h. The accuracy is governed by the second (2h step) term. Averaging of Simpson’s 1/3 rule composite sums with properly shifted frames produces the following rules:

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[-f(x_{-1})+12f(x_{0})+25f(x_{1})+24sum _{i=2}^{n-2}f(x_{i})+25f(x_{n-1})+12f(x_{n})-f(x_{n+1})right],}

where two points outside of the integrated region are exploited, and

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dxapprox {frac {1}{24}}hleft[9f(x_{0})+28f(x_{1})+23f(x_{2})+24sum _{i=3}^{n-3}f(x_{i})+23f(x_{n-2})+28f(x_{n-1})+9f(x_{n})right],}

where only points within integration region are used. Application of the second rule to the region of 3 points generates 1/3 Simpon’s rule, 4 points — 3/8 rule.

These rules are very much similar to the alternative extended Simpson’s rule. The coefficients within the major part of the region being integrated are one with non-unit coefficients only at the edges. These two rules can be associated with Euler–MacLaurin formula with the first derivative term and named First order Euler–MacLaurin integration rules.[8] The two rules presented above differ only in the way how the first derivative at the region end is calculated. The first derivative term in the Euler–MacLaurin integration rules accounts for integral of the second derivative, which equals the difference of the first derivatives at the edges of the integration region. It is possible to generate higher order Euler–Maclaurin rules by adding a difference of 3rd, 5th, and so on derivatives with coefficients, as defined by Euler–MacLaurin formula.

Composite Simpson’s rule for irregularly spaced data[edit]

For some applications, the integration interval {displaystyle I=[a,b]} needs to be divided into uneven intervals – perhaps due to uneven sampling of data, or missing or corrupted data points. Suppose we divide the interval I into even number N of subintervals of widths h_{k}. Then the composite Simpson’s rule is given by[9]

{displaystyle int _{a}^{b}f(x),dx=sum _{i=0}^{N/2-1}{frac {h_{2i}+h_{2i+1}}{6}}left[left(2-{frac {h_{2i+1}}{h_{2i}}}right)f_{2i}+{frac {(h_{2i}+h_{2i+1})^{2}}{h_{2i}h_{2i+1}}}f_{2i+1}+left(2-{frac {h_{2i}}{h_{2i+1}}}right)f_{2i+2}right],}

where

{displaystyle f_{k}=fleft(a+sum _{i=0}^{k-1}h_{i}right)}

are the function values at the kth sampling point on the interval I.

In case of odd number N of subintervals, the above formula are used up to the second to last interval,
and the last interval is handled separately by adding the following to the result:[10]

{displaystyle alpha f_{N}+beta f_{N-1}-eta f_{N-2},}

where

{displaystyle {begin{aligned}alpha &={frac {2h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6(h_{N-2}+h_{N-1})}},[1ex]beta &={frac {h_{N-1}^{2}+3h_{N-1}h_{N-2}}{6h_{N-2}}},[1ex]eta &={frac {h_{N-1}^{3}}{6h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}}.end{aligned}}}

Example implementation in Python
from collections.abc import Sequence

def simpson_nonuniform(x: Sequence[float], f: Sequence[float]) -> float:
    """
    Simpson rule for irregularly spaced data.

    :param x: Sampling points for the function values
    :param f: Function values at the sampling points

    :return: approximation for the integral

    See ``scipy.integrate.simpson`` and the underlying ``_basic_simpson``
    for a more performant implementation utilizing numpy's broadcast.
    """
    N = len(x) - 1
    h = [x[i + 1] - x[i] for i in range(0, N)]
    assert N > 0

    result = 0.0
    for i in range(1, N, 2):
        h0, h1 = h[i - 1], h[i]
        hph, hdh, hmh = h1 + h0, h1 / h0, h1 * h0
        result += (hph / 6) * (
            (2 - hdh) * f[i - 1] + (hph**2 / hmh) * f[i] + (2 - 1 / hdh) * f[i + 1]
        )

    if N % 2 == 1:
        h0, h1 = h[N - 2], h[N - 1]
        result += f[N]     * (2 * h1 ** 2 + 3 * h0 * h1) / (6 * (h0 + h1))
        result += f[N - 1] * (h1 ** 2 + 3 * h1 * h0)     / (6 * h0)
        result -= f[N - 2] * h1 ** 3                     / (6 * h0 * (h0 + h1))
    return result
Example implementation in R
SimpsonInt <- function(fx, dx) {
  n <- length(dx)
  h <- diff(dx)
  stopifnot(exprs = {
    length(fx) == n
    all(h >= 0)
  })
  res <- 0
  for (i in seq(1L, n - 2L, 2L)) {
    hph <- h[i] + h[i + 1L]
    hdh <- h[i + 1L] / h[i]
    res <- res + hph / 6 *
      ((2 - hdh) * fx[i] +
         hph ^ 2 / (h[i] * h[i + 1L]) * fx[i + 1L] +
         (2 - 1 / hdh) * fx[i + 2L])
  }

  if (n %% 2 == 0) {
    hph <- h[n - 1L] + h[n - 2L]
    threehth <- 3 * h[n - 1L] * h[n - 2L]
    sixh2 <- 6 * h[n - 2L]
    h1sq <- h[n - 1L] ^ 2
    res <- res +
      (2 * h1sq + threehth) / (6 * hph) * fx[n] +
      (h1sq + threehth) / sixh2 * fx[n - 1L] -
      (h1sq * h[n - 1L]) / (sixh2 * hph) * fx[n - 2L]
  }
  res
}

See also[edit]

  • Newton–Cotes formulas
  • Gaussian quadrature

Notes[edit]

  1. ^ Atkinson 1989, equation (5.1.15).
  2. ^ a b Süli & Mayers 2003, §7.2.
  3. ^ Atkinson 1989, p. 256.
  4. ^ Atkinson 1989, pp. 257–258.
  5. ^ Süli & Mayers 2003, §7.5.
  6. ^ a b Matthews 2004.
  7. ^ Weisstein, Equation 35.
  8. ^ a b Kalambet, Kozmin & Samokhin 2018.
  9. ^ Shklov 1960.
  10. ^ Cartwright 2017, Equation 8. The equation in Cartwright is calculating the first interval whereas the equations in the Wikipedia article are adjusting for the last integral. If the proper algebraic substitutions are made, the equation results in the values shown.

References[edit]

  • Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
  • Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis (7th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9.
  • Cartwright, Kenneth V. (September 2017). «Simpson’s Rule Cumulative Integration with MS Excel and Irregularly-spaced Data» (PDF). Journal of Mathematical Sciences and Mathematics Education. 12 (2): 1–9. Retrieved 18 December 2022.
  • Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). «Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks». Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
  • Matthews, John H. (2004). «Simpson’s 3/8 Rule for Numerical Integration». Numerical Analysis — Numerical Methods Project. California State University, Fullerton. Archived from the original on 4 December 2008. Retrieved 11 November 2008.
  • Shklov, N. (December 1960). «Simpson’s Rule for Unequally Spaced Ordinates». The American Mathematical Monthly. 67 (10): 1022–1023. doi:10.2307/2309244. JSTOR 2309244.
  • Süli, Endre; Mayers, David (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.
  • Weisstein, Eric W. «Newton-Cotes Formulas». MathWorld. Retrieved 14 December 2022.

External links[edit]

  • «Simpson formula», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. «Simpson’s Rule». MathWorld.
  • Simpson’s 1/3rd rule of integration — Notes, PPT, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple at Numerical Methods for STEM undergraduate
  • A detailed description of a computer implementation is described by Dorai Sitaram in Teach Yourself Scheme in Fixnum Days, Appendix C

This article incorporates material from Code for Simpson’s rule on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

В каком случае квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод – методом прямоугольников?

  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени
  • (Правильный ответ) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки

Для изучения каких систем используется аналитическое моделирование?

  • (Правильный ответ) сравнительно простых
  • любых
  • сложных

Какие формулы применяются в методе полярных координат для вычисления независимых нормально распределенные случайных величин x1 и x2?

  • (Правильный ответ)

В каком случае квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона?

  • (Правильный ответ) если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX
  • если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки

Как выглядит формула Эйлера?

  • нет правильного ответа
  • (Правильный ответ)

Какая функция равномерного распределения существует?

  • (Правильный ответ) дифференциальная и интегральная функции
  • только интегральная функция
  • только дифференциальная функция

Что требуется для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса при статистическом моделировании?

  • одинарное воспроизведение процесса
  • многократное воспроизведение процесса, с последующей статической обработкой полученных данных
  • (Правильный ответ) многократное воспроизведение процесса, с последующей статистической обработкой полученных данных

Укажите более точное определение имитационных моделей:

  • имитационные модели имитируют разброс опытных данных
  • имитационные модели имитируют численное решение модели
  • (Правильный ответ) имитационные модели имитируют поведение реальных объектов, процессов или систем

Как называется отношение ?

  • разделенной разностью второго порядка
  • разделенной разностью нулевого порядка
  • (Правильный ответ) разделенной разностью первого порядка

Чем аппроксимируется искомая функция y(x) на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

  • (Правильный ответ) рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h4
  • рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h2
  • рядом Тейлора, содержащим члены ряда с h3

В градиентных методах 2-го порядка используются

  • наряду с первыми и значения вторых производных функции
  • (Правильный ответ) только значения целевой функции
  • значения первых производных функции

Что такое математическая модель?

  • точное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в физических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в физических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • (Правильный ответ) приближенное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала
  • точное представление реальных объектов, процессов или систем, выраженное в математических терминах и сохраняющее существенные черты оригинала

Какой закон называют нормальным законом распределения вероятностей непрерывной случайной величины?

  • закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a — среднее квадратичное отклонение нормального распределения, — математическое ожидание случайной величины
  • (Правильный ответ) закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a — математическое ожидание случайной величины, -среднее квадратичное отклонение нормального распределения
  • закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией , где a – дисперсия случайной величины, — математическое ожидание случайной величины

Что означает сокращенное обозначение модели СДА?

  • стохастическая, детерминированная, аналитическая
  • дискретная, стохастическая, аналитическая
  • (Правильный ответ) стохастическая, дискретная, аналитическая

Какой из шагов не входит в состав исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания при математическом моделировании, но является частью математического моделирования?

  • выделение наиболее существенных черт и свойств реального объекта или процесса
  • определение внешних связей и описание их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций
  • (Правильный ответ) построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы
  • определение переменных, т.е. параметров, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта

В сколько этапов реализуется метод Ньютона?

  • один
  • три
  • (Правильный ответ) два
  • зависит от количества уравнений

Как выглядит формула Ньютона-Лейбница?

  • (Правильный ответ)

Какой из способов аппроксимации данных нашел большее применение на практике?

  • нет правильного ответа
  • способ, который требует, чтобы аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, не проходила ни через одну узловую точку таблицы
  • способ, который требует, чтобы аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, проходила через все узловые точки таблицы
  • (Правильный ответ) способ, заключающийся в сглаживании опытных данных

Из какого количества этапов состоит метод Гаусса?

  • (Правильный ответ) 2
  • 5
  • 3
  • 4

По какой формуле интерполяционный многочлен имеет вид:

  • (Правильный ответ) Лагранжа
  • Ньютона
  • Стерлинга
  • Бесселя

Какая модель не является плодом человеческой мысли в общем случае?

  • математическая
  • физическая
  • знаковая
  • наглядная
  • (Правильный ответ) натурная

В методе дихотомии, если F(x-E)<F(x+E), то для определения min выбирается отрезок

  • [(a+b)/2, b]
  • (Правильный ответ) [a, (a+b)/2]
  • [(a+b)/2-E, (a+b)/2+E]

это интерполяционный многочлен

  • (Правильный ответ) в явном виде
  • в форме Лагранжа
  • в форме Ньютона

На заданном отрезке [a,b] имеется только один корень, если

  • (Правильный ответ) знак производной не меняется
  • знак функции не меняется, но меняется знак производной
  • знак функции не меняется

К чему преобразуется исходная система n-го порядка в результате выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса?

  • к совокупности уравнения
  • (Правильный ответ) к совокупности уравнения и системы линейных уравнений, порядок которой равен n-1
  • к системе линейных уравнений, порядок которой равен n-1

К какому способу формирования последовательности нормально распределенных случайных величин относится метод, основанный на центральной предельной теореме?

  • отсеивание псевдослучайных чисел из первоначальной последовательности
  • (Правильный ответ) моделирование условий, соответствующих центральной предельной теореме теории вероятности
  • прямое преобразование псевдослучайного числа
  • обратное преобразование псевдослучайного числа

Как добиться того чтобы результаты по методу Эйлера, модифицированному методу Эйлера и методу Рунге-Кутта 4-го порядка были почти одинаковыми

  • (Правильный ответ) уменьшая шаг интегрирования
  • увеличивая шаг интегрирования
  • удваивая шаг интегрирования

Какой фактор определяет использование статистической имитационной модели?

  • скорость процесса
  • (Правильный ответ) случайные воздействия
  • высокая требуемая точность
  • количество имитируемых элементов

Интерполяция — это

  • (Правильный ответ) нахождение значения таблично заданной функции внутри заданного интервала
  • восстановление функции в точках за пределами заданного интервала табличной функции
  • усреднение или сглаживание табличной функции

Какая величина называется непрерывной?

  • случайную величину, которая может принимать только одно значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка
  • случайная величина, которая может принимать только одно значение из некоторого конечного и все значения бесконечного промежутка
  • (Правильный ответ) случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка

Как звучит постановка в численных методах задача Коши для системы y(x) с учетом двух начальных условия: y(x0)=y0, y1(x0)=(y1)0?

  • (Правильный ответ) найти табличные функции y(x) и (y1)(x),
  • нет правильного ответа
  • найти табличные функции y(x) и (y1)(x),

Каким количеством нелинейных уравнений описывается модель, если законы функционирования модели нелинейны, а моделируемые процесс или система обладают одной степенью свободы?

  • тремя нелинейными уравнениями
  • двумя нелинейными уравнениями
  • (Правильный ответ) одним нелинейным уравнением

К какому уравнению неприменимо отделение корней?

  • (Правильный ответ) применимо к обоим
  • трансцендентному
  • алгебраическому

Можно ли методом серединного квадрата генерировать натуральные числа?

  • нет, в любом случае
  • (Правильный ответ) да, в любом случае
  • да, если правильно подобрать первое число

Пересечение касательной к функции и осью абсцисс дает точку, используемую в методе

  • во всех указанных методах
  • простых итераций
  • половинного деления
  • (Правильный ответ) Ньютона

В чем заключается сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов?

  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были максимальными
  • (Правильный ответ) при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были минимальными
  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по большинству узловых точек были максимальными
  • при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения от табличных данных (уклонения) по большинству узловых точек были минимальными

К каким методам относятся численные методы по характеру результата?

  • нет правильного ответа
  • (Правильный ответ) приближенным
  • точным

Какое количество этапов в решении задачи моделирования случайных величин с нормальным законом распределения?

  • 1
  • 3
  • (Правильный ответ) 2
  • 4

Сколько этапов можно выделить для решения задачи генерирования случайных чисел на ЭВМ с заданным законом распределения?

  • (Правильный ответ) 2
  • 1
  • 4
  • 3

Дисперсия постоянной величины C равна

  • CD(1)
  • постоянной ненулевой величине
  • (Правильный ответ) 0
  • CD(0)

Как называются модели, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий и их элементы (элементы модели) достаточно точно установлены?

  • статические
  • (Правильный ответ) детерминированные
  • дискретные
  • динамические

Как еще называется метод Эйлера?

  • метод Рунге–Кутта второго порядка
  • (Правильный ответ) метод Рунге–Кутта первого порядка
  • метод Рунге–Кутта четвертого порядка

Отец мальчика, возвращаясь домой, заметил большое количество магазинов с колбасой и решил купить для сына килограмм, он заходил в каждый магазин и записывал цены в таблицу, однако возвращаться в магазин, где он уже был он не хочет, поэтому он решил определить вероятность того, дороже или дешевле будет колбаса в следующем магазине. Какую математическую модель взять отцу за основу?

  • (Правильный ответ) СДА
  • СНА
  • ДДА
  • СНИ
  • ДНА

В каком случае уравнение f(x)=0 называется трансцендентным уравнением?

  • если функция f(x) имеет вид многочлена степени m,
  • (Правильный ответ) если функция f(x) включает в себя тригонометрические функции от некоторого аргумента x
  • (Правильный ответ) если функция f(x) включает в себя экспоненциальные функции от некоторого аргумента x

Какие математические модели применяются при имитационном моделировании?

  • с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели для всех возможных исходных данных
  • (Правильный ответ) с помощью которых нельзя заранее вычислить или предсказать поведение системы, а для предсказания поведения системы необходим вычислительный эксперимент (имитация) на математической модели при заданных исходных данных
  • с помощью которых можно заранее вычислить или предсказать поведение системы, и для предсказания поведения системы нет необходимости в применении вычислительного эксперимента (имитации) на математической модели при заданных исходных данных

Математическое ожидание есть

  • (Правильный ответ) неслучайная величина для дискретной и непрерывной величины
  • неслучайная величина для дискретной величины
  • случайная величина для дискретной и непрерывной величины
  • случайная величина для дискретной величины
  • неслучайная величина для непрерывной величины
  • случайная величина для непрерывной величины

Метод «золотого сечения» является методом

  • градиентным методом
  • (Правильный ответ) прямого поиска
  • градиентным методом второго порядка

К какой форме представления (задания) закона распределения относится биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли Pn(k)=Cnkpkqn-k (где k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий, а q = 1-p – вероятность не появления событий)?

  • табличное задание
  • графическое задание
  • (Правильный ответ) аналитическое задание

В простейшем случае при расчете определенного интеграла функции его представляют в виде:

  • (Правильный ответ) суммы значений функции
  • произведения значений функции
  • разность значений функции

Для какого из методов больше подойдет характеристика: численный метод, моделирующий на ЭВМ псевдослучайные числовые последовательности с заданными вероятностными характеристиками

  • метод Ньютона
  • метод секущих
  • метод хорд
  • линейный конгруэнтный метод
  • (Правильный ответ) метод Монте-Карло

В чем заключается построение математической модели?

  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • (Правильный ответ) в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат
  • в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста математическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат

Какое условие необходимо соблюдать на каждом шаге интегрирования при применении для решения системы дифференциальных уравнений тех же методов, что и для решения одного дифференциального уравнения первого порядка?

  • все уравнения системы необходимо решать последовательно
  • (Правильный ответ) все уравнения системы необходимо решать параллельно
  • нет правильного ответа

Какая задача не поддается точному решению на ЭВМ в виде формул?

  • (Правильный ответ) все указанные поддаются
  • дифференциально-интегральная система уравнений
  • интегральное уравнение 1-го порядка
  • дифференциальная система уравнений
  • система нелинейных уравнений

К каким случайным величинам применим способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически?

  • только к непрерывным
  • (Правильный ответ) только к дискретным
  • к любым

При каком условии прекращается процесс поиска корня по методу простых итераций?

  • (Правильный ответ)

В задаче о камне, брошенном под углом к горизонту, решенной в явном виде, как зависимость координаты от времени, была применена модель

  • ДДА
  • СДИ
  • СДА
  • (Правильный ответ) ДНА
  • СНИ

Как определить значение нормально распределенной случайной величины с требуемым математическим ожиданием и требуемым среднеквадратичным отклонением для двенадцати (k=12) равномерно распределенных случайных величин?

  • (Правильный ответ)

Какой модели быть не может?

  • вещественной, математической
  • вещественной, физической
  • (Правильный ответ) идеальной, физической
  • идеальной, математической

Какой метод называется градиентным?

  • (Правильный ответ) метод, в котором для нахождения корня используется значение производной
  • метод, в котором для нахождения корня используется нахождение значения функции в различных точках интервала изоляции
  • метод, в котором для нахождения корня используется нахождение значения функции на границах интервала изоляции

Укажите какого порядка будет максимальная ошибка метода Симпсона

  • 1
  • 4
  • (Правильный ответ) 3
  • 2

Какой из методов не содержит рекуррентной формулы?

  • серединного квадрата
  • квадратичный конгруэнтный
  • (Правильный ответ) все указанные содержат
  • линейно конгруэнтный

Что необходимо сделать для построения интерполяционного многочлена в явном виде?

  • (Правильный ответ) получить систему уравнений:
  • нет правильного ответа
  • получить уравнение: a0x1n+ a1x1n-1+…+ an-1×1+an=yi, i= n

Укажите метод, неприменяемый для компьютерного моделирования:

  • (Правильный ответ) экспериментальный анализ
  • точное решение в виде формул
  • численное решение

Метод половинного деления применим для случая

  • алгебраического уравнения
  • трансцендентного уравнения
  • (Правильный ответ) применимо к обоим

Разделенные разности используются интерполяционным многочленом в формах

  • (Правильный ответ) Ньютона
  • Лагранжа
  • в явном виде

В чем состоит суть «метода середины квадрата»?

  • (Правильный ответ) в том, что предыдущее случайное число возводится в квадрат, а затем из результата извлекаются средние цифры
  • в выборе четырех «магических чисел»: x0— начальное значение, ; — множитель, ; c— приращение, ; m— модуль,

В каком случае квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона?

Перейти

Чему равна ошибка на каждом шаге интегрирования дифференциальных уравнений в методе Рунге-Кутта 4-го порядка?

Перейти

Точность h метода Рунге-Кутта 4-го порядка

Перейти

К чему преобразуется исходная система n-го порядка в результате выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса?

Перейти

В основе какого метода лежит идея последовательного исключения неизвестных?

Перейти

Формула какого рода используется на обратном шаге метода Гаусса при нахождении корней?

Перейти

При выполнении какого условия прекращается итерационный процесс поиска в рамках метода простых итераций?

Перейти

Какой из параметров не влияет на ошибку методов Симпсона, трапеций и прямоугольников?

Перейти

Чем аппроксимируется подынтегральная функция в каждой части деления в методе Симпсона?

Перейти

В каком случае будет формально непригоден простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления?

Перейти

В
основе метода Симпсона лежит следующая
лемма.

Лемма.
Если
или,
то

.
(4.5)

Выполним
доказательство лишь для квадратичной
параболы. Подставим функцию
под интеграл в (4.5) и вычислим его. Получим

.
(4.6)

С
другой стороны,

,

,

.

Сложив
три последних выражения, мы получим
выражение (4.6), что и доказывает лемму.

Перейдем
к изложению метода Симпсона. Разделим
точки
,
разбивающие отрезок интегрированияна частичные отрезки с равномерным
шагом,
на тройки точек,,…,.
Для такого разбиения число отрезковнеобходимо выбрать четным. На отрезке,
определяемом
тройкой точек,,
заменим подынтегральную функцию
параболой второго порядка,
проходящей через точки,,,
и заменим точное значение интеграла на
этом отрезке интеграломот полученной параболы. На основании
леммы можно записать, что

.

Приближенное
значение интеграла на всем отрезке
интегрирования
получим как сумму этих частичных
интегралов:

.
(4.7)

Мы
видим, что в методе Симпсона крайние
значения функции
суммируются с весом 1, значенияс нечетным номером– с весоми значенияс четным номером– с весом.
Суммы значений функции с различными
весами удобно вычислить отдельно, а
затем их сложить, умножить на шаги разделить на 3.

4.7 Погрешность метода Симпсона

Абсолютная
погрешность формулы Симпсона (4.7)
определяется выражением

.

Она
складывается из частичных погрешностей
,
полученных на каждой тройке точек,
используемых для аппроксимации:

.

Частичная
погрешность здесь определяется выражением

.

Оценка
общей погрешности имеет вид

.
(4.8)

Получим
оценки сначала для частичной, а затем
и для полной погрешностей. Для этого
рассмотрим вспомогательную функцию

,
.

При
иэта функция совпадает с.
Кроме того,.
Найдем производные функциидо 3-го порядка включительно. Поскольку

,

то,
используя правила дифференцирования
интеграла по нижнему и верхнему пределам,
получим

,

а
также

,

.

Выполняя
последовательное дифференцирование,
будем иметь

,

,

,

.

Применяя
к
теорему Лагранжа, т.е. используя равенство

,
,

получим

.

Обозначая
максимальное по модулю значение четвертой
производной подынтегральной функциина отрезке интегрирования,

,

получим
оценку для 3-й производной функции
:

.

Поскольку

,

то

.

Аналогично
получаем

,

,

,

.

Поскольку
,
то для частичной погрешностиполучаем оценку

.

Выражение
(4.8) имеет
слагаемых, следовательно, абсолютная
погрешность формулы Симпсона будет
оцениваться выражением

.

Из
последней формулы видно, что абсолютная
погрешность метода Симпсона имеет тот
же порядок, что и
.
Формула Симпсона точна для полиномов
третьей степени, поскольку для полинома
3-й степени.
Это является следствием того, что лемма
(4.5) справедлива также для полинома 3-й
степени.

4.8 Интерполяционные квадратурные формулы

Рассмотрим
вычисление следующего интеграла:

,
(4.9)

где
– некоторая достаточно гладкая функция,
которую назовем подынтегральной,– некоторая неотрицательная интегрируемая
функция, которая называется весовой.

Этот
интеграл является более общим по
сравнению с рассматриваемым ранее
интегралом (4.1). Интеграл вида (4.1) получим
из (4.9) при весовой функции
.

Для
вычисления интеграла (4.9) применим
следующий подход: выберем на отрезке
точек.
В отличие от предыдущих методов, не
будем вычислять интегралы на частичных
отрезках, а заменим подынтегральную
функцию на всем отрезкеинтерполяционным полиномом (3.7),
построенным
по узлам
.
В результате получим следующую
квадратурную формулу:

,
(4.10)

где

,
(4.11)

,

и
– полином влияния-го
узла (3.6).

Формула
(4.10), в которой коэффициенты определяются
по выражению (4.11),
называется интерполяционной
квадратурной формулой
.

Рассмотрим
вопрос погрешности интерполяционной
квадратурной формулы. Заменяя
подынтегральную функцию
полиномом Лагранжа,
получаем абсолютную грешность(3.27). Представим функциювиде

и
найдем интеграл (4.9)

.

Ясно,
что второе слагаемое правой части этого
выражения есть абсолютная погрешность
интерполяционной квадратурной формулы:

.

Подставляя
сюда выражение (3.27) для погрешности
,
получим следующую формулу абсолютной
погрешности интерполяционной квадратурной
формулы (4.10):

.

Если
обозначить

,

то
для оценки абсолютной погрешности
интерполяционной квадратурной формулы
(4.10) получим выражение

.

Из
полученных выражений для погрешности
видно, что интерполяционная квадратурная
формула (4.10) точна для полиномов

степени, поскольку в этом случае.
О такой квадратурной формуле говорят,
что ее степень точности равна.

Таким
образом, квадратурная формула
интерполяционного типа (4.10), построенная
по
узлам,
является точной для полиномов
степени. Справедливо также и обратное
утверждение, которое сформулируем в
виде теоремы.

Теорема.
Если квадратурная формула

(4.12)

точна
для полинома степени
,
то она является интерполяционной.

Для
доказательства достаточно показать,
что если
– полином степени,
то коэффициентыопределяются формулой (4.11), т.е..
Выберем в качестве такого полинома
полином влияния-го
узла(3.6). Тогда по условию теоремы квадратурная
формула (4.12) для него будет точной, т.е.

,
.

Полином
влияния обладает свойством

в
связи с чем предыдущий интеграл будет
равен

.

Левая
часть последнего равенства есть
,
т.е.,,
и теорема доказана.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

  • Укажите какие ошибки допущены при передаче прямой речи косвенной перепишите исправляя предложения
  • Узнав эту прекрасную новость радости его не было предела исправить ошибки деепричастного оборота
  • Узм 3 63к индикация ошибок
  • Узкая дорожка была покрыта проваливающимся снегом под ногами какая ошибка
  • Узкая дорожка была покрыта проваливающимся снегом под ногами где ошибка